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Theorem mamuvs2 27567
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mamuvs2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamuvs2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs2.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuvs2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuvs2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuvs2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mamuvs2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs2  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k )  =  ( ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) `  <. j ,  k >. )
2 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
4 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
8 xpfi 7144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  B )
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
14 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
15 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
18 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
1918eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( Z `  <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k ) )
2110, 12, 17, 20ofc1 6116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( (
( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )
225, 21mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) `  <. j ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
231, 22syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
2423oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) ) )
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2726crngmgp 15365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
2825, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
31 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
34 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
35 fovrn 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  j  e.  N
)  ->  ( i X j )  e.  B )
3633, 34, 2, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
3713, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
39 fovrn 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : ( N  X.  O ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  O
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
4038, 2, 3, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
41 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
4226, 41mgpbas 15347 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
43 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4426, 43mgpplusg 15345 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
4542, 44cmn12 15125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( ( i X j )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  -> 
( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4629, 36, 12, 40, 45syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4724, 46eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4847mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
4948oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
50 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
52 crngrng 15367 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5325, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5453adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
556adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
5611adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  B )
5753ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5841, 43rngcl 15370 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
5957, 36, 40, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
60 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) )
6159, 60fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
6255, 61fisuppfi 14466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
6341, 50, 51, 43, 54, 55, 56, 59, 62gsummulc2 15407 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
6449, 63eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
65 mamuvs2.f . . . . 5  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
6625adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  CRing )
67 mamuvs2.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6867adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
697adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7030adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
71 fconst6g 5446 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
7211, 71syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
73 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
7441, 73eqeltri 2366 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
75 elmapg 6801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( N  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7674, 9, 75sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7772, 76mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7841, 43rngvcl 27556 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7953, 77, 13, 78syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8079adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
81 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
82 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8365, 41, 43, 66, 68, 55, 69, 70, 80, 81, 82mamufv 27548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) ) )
84 df-ov 5877 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
85 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8685adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
87 xpfi 7144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8867, 7, 87syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8988adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
9041, 53, 65, 67, 6, 7, 30, 13mamucl 27559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
91 elmapi 6808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
92 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9390, 91, 923syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9493adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
95 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
9613adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9765, 41, 43, 66, 68, 55, 69, 70, 96, 81, 82mamufv 27548 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9895, 97syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
9998adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
10089, 56, 94, 99ofc1 6116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10186, 100mpdan 649 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
10284, 101syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10364, 83, 1023eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
104103ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
10541, 53, 65, 67, 6, 7, 30, 79mamucl 27559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
106 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
107 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
108105, 106, 1073syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109 fconst6g 5446 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
11011, 109syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
111 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
11274, 88, 111sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
113110, 112mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11441, 43rngvcl 27556 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11553, 113, 90, 114syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
116 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
117 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
118115, 116, 1173syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
119 eqfnov2 5967 . . 3  |-  ( ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O )  /\  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
120108, 118, 119syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
121104, 120mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   <.cop 3656   <.cotp 3657    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   maMul cmmul 27542
This theorem is referenced by:  matassa  27584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-mamu 27544
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