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Theorem mamuvs2 27422
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mamuvs2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamuvs2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs2.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuvs2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuvs2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuvs2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mamuvs2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs2  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6076 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k )  =  ( ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) `  <. j ,  k >. )
2 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
4 opelxpi 4902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
8 xpfi 7370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
96, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
109ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  B )
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
14 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
15 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1613, 14, 153syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
18 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
1918eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k )
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( Z `  <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k ) )
2110, 12, 17, 20ofc1 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( (
( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )
225, 21mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) `  <. j ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
231, 22syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
2423oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) ) )
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
26 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2726crngmgp 15664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
2825, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
31 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
34 simplrl 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
3533, 34, 2fovrnd 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
3613, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3837, 2, 3fovrnd 6210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
39 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
4026, 39mgpbas 15646 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
41 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4226, 41mgpplusg 15644 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
4340, 42cmn12 15424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( ( i X j )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  -> 
( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4429, 35, 12, 38, 43syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4524, 44eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4645mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
4746oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
48 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
49 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
50 crngrng 15666 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5125, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5251adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
536adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
5411adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  B )
5551ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5639, 41rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
5755, 35, 38, 56syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
58 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) )
5957, 58fmptd 5885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
6053, 59fisuppfi 14765 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
6139, 48, 49, 41, 52, 53, 54, 57, 60gsummulc2 15706 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
6247, 61eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
63 mamuvs2.f . . . . 5  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
6425adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  CRing )
65 mamuvs2.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6665adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
677adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
6830adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
69 fconst6g 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
7011, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
71 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
7239, 71eqeltri 2505 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
73 elmapg 7023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( N  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7472, 9, 73sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7570, 74mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7639, 41rngvcl 27411 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7751, 75, 13, 76syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7877adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
79 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
80 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8163, 39, 41, 64, 66, 53, 67, 68, 78, 79, 80mamufv 27403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) ) )
82 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
83 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8483adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
85 xpfi 7370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8665, 7, 85syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8786adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
8839, 51, 63, 65, 6, 7, 30, 13mamucl 27414 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
89 elmapi 7030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
90 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9291adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
93 df-ov 6076 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
9413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9563, 39, 41, 64, 66, 53, 67, 68, 94, 79, 80mamufv 27403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9693, 95syl5eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
9796adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9887, 54, 92, 97ofc1 6319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
9984, 98mpdan 650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
10082, 99syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10162, 81, 1003eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
102101ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
10339, 51, 63, 65, 6, 7, 30, 77mamucl 27414 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
104 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
105 ffn 5583 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
106103, 104, 1053syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
107 fconst6g 5624 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
10811, 107syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
109 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
11072, 86, 109sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
111108, 110mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11239, 41rngvcl 27411 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11351, 111, 88, 112syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
114 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
115 ffn 5583 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
116113, 114, 1153syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
117 eqfnov2 6169 . . 3  |-  ( ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O )  /\  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
118106, 116, 117syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
119102, 118mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   <.cop 3809   <.cotp 3810    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   maMul cmmul 27397
This theorem is referenced by:  matassa  27439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-mamu 27399
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