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Theorem mamuvs2 27464
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamuvs2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
mamuvs2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamuvs2.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs2.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuvs2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuvs2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuvs2.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
mamuvs2.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs2  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs2
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k )  =  ( ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) `  <. j ,  k >. )
2 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
3 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
4 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
6 mamuvs2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamuvs2.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
8 xpfi 7128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
11 mamuvs2.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  B )
13 mamuvs2.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
14 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
15 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
18 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
1918eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z `
 <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( Z `  <. j ,  k
>. )  =  (
j Z k ) )
2110, 12, 17, 20ofc1 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )  ->  ( (
( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )
225, 21mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) `  <. j ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
231, 22syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k )  =  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )
2423oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) ) )
25 mamuvs2.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
26 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2726crngmgp 15349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  (mulGrp `  R
)  e. CMnd )
2825, 27syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (mulGrp `  R )  e. CMnd )
30 mamuvs2.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
31 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
34 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
35 fovrn 5990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  j  e.  N
)  ->  ( i X j )  e.  B )
3633, 34, 2, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
3713, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
39 fovrn 5990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : ( N  X.  O ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  O
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
4038, 2, 3, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
41 mamuvs2.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
4226, 41mgpbas 15331 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
43 mamuvs2.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
4426, 43mgpplusg 15329 . . . . . . . . . 10  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
4542, 44cmn12 15109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (mulGrp `  R )  e. CMnd  /\  ( ( i X j )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  -> 
( ( i X j )  .x.  ( Y  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4629, 36, 12, 40, 45syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( Y 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4724, 46eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) k ) )  =  ( Y  .x.  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
4847mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
4948oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
50 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
52 crngrng 15351 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
5325, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5453adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
556adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
5611adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  B )
5753ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
5841, 43rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
5957, 36, 40, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
60 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) )
6159, 60fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
6255, 61fisuppfi 14450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
6341, 50, 51, 43, 54, 55, 56, 59, 62gsummulc2 15391 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( Y  .x.  (
( i X j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
6449, 63eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
65 mamuvs2.f . . . . 5  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
6625adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  CRing )
67 mamuvs2.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6867adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
697adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7030adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
71 fconst6g 5430 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
7211, 71syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } ) : ( N  X.  O ) --> B )
73 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
7441, 73eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
75 elmapg 6785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( N  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7674, 9, 75sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  <->  ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( N  X.  O ) --> B ) )
7772, 76mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7841, 43rngvcl 27453 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( (
( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7953, 77, 13, 78syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8079adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
)  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
81 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
82 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8365, 41, 43, 66, 68, 55, 69, 70, 80, 81, 82mamufv 27445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) k ) ) ) ) )
84 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
85 opelxpi 4721 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8685adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
87 xpfi 7128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8867, 7, 87syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8988adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
9041, 53, 65, 67, 6, 7, 30, 13mamucl 27456 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
91 elmapi 6792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
92 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9390, 91, 923syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9493adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
95 df-ov 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
9613adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9765, 41, 43, 66, 68, 55, 69, 70, 96, 81, 82mamufv 27445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
9895, 97syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
9998adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
10089, 56, 94, 99ofc1 6100 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10186, 100mpdan 649 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
10284, 101syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) k )  =  ( Y 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
10364, 83, 1023eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
104103ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) )
10541, 53, 65, 67, 6, 7, 30, 79mamucl 27456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
106 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
107 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( X F ( ( ( N  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
108105, 106, 1073syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109 fconst6g 5430 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
11011, 109syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } ) : ( M  X.  O ) --> B )
111 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
11274, 88, 111sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
113110, 112mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11441, 43rngvcl 27453 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
11553, 113, 90, 114syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
116 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
117 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
118115, 116, 1173syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
119 eqfnov2 5951 . . 3  |-  ( ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  Fn  ( M  X.  O )  /\  (
( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
120108, 118, 119syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( ( ( N  X.  O )  X. 
{ Y } )  o F  .x.  Z
) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) k ) ) )
121104, 120mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( ( ( N  X.  O )  X.  { Y } )  o F 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { Y }
)  o F  .x.  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   <.cop 3643   <.cotp 3644    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   maMul cmmul 27439
This theorem is referenced by:  matassa  27481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-mamu 27441
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