Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Structured version   Unicode version

Theorem mapdcv 32459
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 32424. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdcv.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdcv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdcv.c  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
mapdcv.d  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdcv.e  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
mapdcv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdcv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdcv  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdcv.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdcv.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdcv.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdcv.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdcv.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdcv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 32454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )
9 mapdcv.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
10 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
115adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 32455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( M `  v )  e.  ( LSubSp `  D )
)
145adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 32450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  D ) )
1615eleq2d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ran  M  <-> 
f  e.  ( LSubSp `  D ) ) )
1716biimpar 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  e.  ran  M )
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 32451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( `' M `  f )  e.  S )
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 32456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( M `  ( `' M `  f ) )  =  f )
2019eqcomd 2442 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
21 fveq2 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  ( M `  v )  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
2221eqeq2d 2448 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  (
f  =  ( M `
 v )  <->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) ) )
2322rspcev 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' M `  f )  e.  S  /\  f  =  ( M `  ( `' M `  f )
) )  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
2418, 20, 23syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
25 psseq2 3436 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( M `  X
)  C.  f  <->  ( M `  X )  C.  ( M `  v )
) )
26 psseq1 3435 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
f  C.  ( M `  Y )  <->  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) )
2725, 26anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
2827adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  =  ( M `  v ) )  ->  ( (
( M `  X
)  C.  f  /\  f  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v
)  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) ) )
2913, 24, 28rexxfrd 4739 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
306adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  X  e.  S )
311, 2, 3, 4, 11, 30, 12mapdsord 32454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  X
)  C.  ( M `  v )  <->  X  C.  v ) )
327adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  Y  e.  S )
331, 2, 3, 4, 11, 12, 32mapdsord 32454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  v
)  C.  ( M `  Y )  <->  v  C.  Y ) )
3431, 33anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3534rexbidva 2723 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( ( M `
 X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
)  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3629, 35bitrd 246 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3736notbid 287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
388, 37anbi12d 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) )  <->  ( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) ) )
39 mapdcv.e . . 3  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
401, 9, 5lcdlmod 32391 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 32455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
421, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 32455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
4310, 39, 40, 41, 42lcvbr 29820 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X ) E ( M `  Y )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) ) ) )
44 mapdcv.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
451, 3, 5dvhlmod 31909 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
464, 44, 45, 6, 7lcvbr 29820 . 2  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y
) ) ) )
4738, 43, 463bitr4rd 279 1  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707    C. wpss 3322   class class class wbr 4213   `'ccnv 4878   ran crn 4880   ` cfv 5455   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009    <oLL clcv 29817   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877  LCDualclcd 32385  mapdcmpd 32423
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  32465  mapdat  32466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-oppg 15143  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-lsatoms 29775  df-lshyp 29776  df-lcv 29818  df-lfl 29857  df-lkr 29885  df-ldual 29923  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tgrp 31541  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-dveca 31801  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028  df-doch 32147  df-djh 32194  df-lcdual 32386  df-mapd 32424
  Copyright terms: Public domain W3C validator