Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcv Unicode version

Theorem mapdcv 31850
Description: Covering property of the converse of the map defined by df-mapd 31815. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdcv.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdcv.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdcv.c  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
mapdcv.d  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdcv.e  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
mapdcv.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdcv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdcv  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )

Proof of Theorem mapdcv
Dummy variables  v 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdcv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdcv.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdcv.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdcv.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdcv.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdcv.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdcv.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdsord 31845 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )
9 mapdcv.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  D )  =  (
LSubSp `  D )
115adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
131, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12mapdcl2 31846 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  ( M `  v )  e.  ( LSubSp `  D )
)
145adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
151, 2, 9, 10, 5mapdrn2 31841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  D ) )
1615eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ran  M  <-> 
f  e.  ( LSubSp `  D ) ) )
1716biimpar 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  e.  ran  M )
181, 2, 3, 4, 14, 17mapdcnvcl 31842 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( `' M `  f )  e.  S )
191, 2, 14, 17mapdcnvid2 31847 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  ( M `  ( `' M `  f ) )  =  f )
2019eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  ( M `  v )  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) )
2221eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( `' M `  f )  ->  (
f  =  ( M `
 v )  <->  f  =  ( M `  ( `' M `  f ) ) ) )
2322rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' M `  f )  e.  S  /\  f  =  ( M `  ( `' M `  f )
) )  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
2418, 20, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( LSubSp `  D )
)  ->  E. v  e.  S  f  =  ( M `  v ) )
25 psseq2 3264 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( M `  X
)  C.  f  <->  ( M `  X )  C.  ( M `  v )
) )
26 psseq1 3263 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
f  C.  ( M `  Y )  <->  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) )
2725, 26anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( M `  v )  ->  (
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
2827adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  =  ( M `  v ) )  ->  ( (
( M `  X
)  C.  f  /\  f  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v
)  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
) ) )
2913, 24, 28rexxfrd 4549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) ) ) )
306adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  X  e.  S )
311, 2, 3, 4, 11, 30, 12mapdsord 31845 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  X
)  C.  ( M `  v )  <->  X  C.  v ) )
327adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  Y  e.  S )
331, 2, 3, 4, 11, 12, 32mapdsord 31845 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( M `  v
)  C.  ( M `  Y )  <->  v  C.  Y ) )
3431, 33anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  S )  ->  (
( ( M `  X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v
)  C.  ( M `  Y ) )  <->  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3534rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. v  e.  S  ( ( M `
 X )  C.  ( M `  v )  /\  ( M `  v )  C.  ( M `  Y )
)  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3629, 35bitrd 244 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
3736notbid 285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) )  <->  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) )
388, 37anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) )  <->  ( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y ) ) ) )
39 mapdcv.e . . 3  |-  E  =  (  <oLL  `  D )
401, 9, 5lcdlmod 31782 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  LMod )
411, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 6mapdcl2 31846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
421, 2, 3, 4, 9, 10, 5, 7mapdcl2 31846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  D ) )
4310, 39, 40, 41, 42lcvbr 29211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X ) E ( M `  Y )  <-> 
( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  /\  -.  E. f  e.  ( LSubSp `  D )
( ( M `  X )  C.  f  /\  f  C.  ( M `
 Y ) ) ) ) )
44 mapdcv.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  U )
451, 3, 5dvhlmod 31300 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
464, 44, 45, 6, 7lcvbr 29211 . 2  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( X  C.  Y  /\  -.  E. v  e.  S  ( X  C.  v  /\  v  C.  Y
) ) ) )
4738, 43, 463bitr4rd 277 1  |-  ( ph  ->  ( X C Y  <-> 
( M `  X
) E ( M `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C. wpss 3153   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ran crn 4690   ` cfv 5255   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689    <oLL clcv 29208   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268  LCDualclcd 31776  mapdcmpd 31814
This theorem is referenced by:  mapdcnvatN  31856  mapdat  31857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lcv 29209  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-ldual 29314  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585  df-lcdual 31777  df-mapd 31815
  Copyright terms: Public domain W3C validator