Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdffval Unicode version

Theorem mapdffval 31816
Description: Projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapdval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
mapdffval  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
Distinct variable groups:    w, H    f, s, w, K
Allowed substitution hints:    H( f, s)    X( w, f, s)

Proof of Theorem mapdffval
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( K  e.  X  ->  K  e.  _V )
2 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  ( LHyp `  K
) )
3 mapdval.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
42, 3syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  ( LHyp `  k )  =  H )
5 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( DVecH `  k )  =  ( DVecH `  K )
)
65fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( DVecH `  k ) `  w )  =  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )
76fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  ( LSubSp `
 ( ( DVecH `  k ) `  w
) )  =  (
LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w
) ) )
86fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  ( ocH `  k )  =  ( ocH `  K
) )
109fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ocH `  k
) `  w )  =  ( ( ocH `  K ) `  w
) )
116fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) )
1211fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
(LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )
1310, 12fveq12d 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  =  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )
1410, 13fveq12d 5531 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) ) )
1514, 12eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (
( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )  <->  ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) ) )
1613sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
)  C_  s  <->  ( (
( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) )
1715, 16anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s )  <->  ( (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) ) )
188, 17rabeqbidv 2783 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )
197, 18mpteq12dv 4098 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  k ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } )  =  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )
204, 19mpteq12dv 4098 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
21 df-mapd 31815 . . 3  |- mapd  =  ( k  e.  _V  |->  ( w  e.  ( LHyp `  k )  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  k ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  k ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  k
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  k ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
22 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( LHyp `  K )  e.  _V
233, 22eqeltri 2353 . . . 4  |-  H  e. 
_V
2423mptex 5746 . . 3  |-  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  (
( DVecH `  K ) `  w ) )  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |  ( ( ( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) )  e.  _V
2520, 21, 24fvmpt 5602 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
261, 25syl 15 1  |-  ( K  e.  X  ->  (mapd `  K )  =  ( w  e.  H  |->  ( s  e.  ( LSubSp `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
)  |->  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) )  |  ( ( ( ( ocH `  K ) `
 w ) `  ( ( ( ocH `  K ) `  w
) `  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  w )
) `  f )
) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f )  /\  (
( ( ocH `  K
) `  w ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  w ) ) `  f ) )  C_  s ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ` cfv 5255   LSubSpclss 15689  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   ocHcoch 31537  mapdcmpd 31814
This theorem is referenced by:  mapdfval  31817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-mapd 31815
  Copyright terms: Public domain W3C validator