Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6bN Structured version   Unicode version

Theorem mapdh6bN 32633
Description: Lemmma for mapdh6N 32643. (Contributed by NM, 24-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdhc.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdhc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdhcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
mapdh.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
mapdh6b.y  |-  ( ph  ->  Y  =  .0.  )
mapdh6b.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
mapdh6b.ne  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh6bN  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Distinct variable groups:    x, D, h    h, F, x    x, J    x, M    x, N    x,  .0.    x, Q    x, R    x, 
.-    h, X, x    h, Y, x    ph, h    .0. , h    C, h    D, h   
h, J    h, M    h, N    R, h    U, h    .- , h    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    .+ ( x, h)    .+b ( x, h)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    I( x, h)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh6bN
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 mapdh.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 32488 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 lmodgrp 15988 . . . 4  |-  ( C  e.  LMod  ->  C  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Grp )
7 mapdh.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
8 mapdh.i . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
9 mapdh.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
10 mapdh.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
11 mapdh.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdh.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
13 mapdhc.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
14 mapdh.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
15 mapdh.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
16 mapdh.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
17 mapdh.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
18 mapdhc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
19 mapdh.mn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdhcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdh6b.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
221, 10, 3dvhlvec 32005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2320eldifad 3318 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
24 mapdh6b.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  .0.  )
251, 10, 3dvhlmod 32006 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
2611, 13lmod0vcl 16010 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
2824, 27eqeltrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
29 mapdh6b.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
3011, 14, 22, 23, 28, 21, 29lspindpi 16235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3130simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
327, 8, 1, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 3, 18, 19, 20, 21, 31mapdhcl 32623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )
33 mapdh.a . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
3415, 33, 7grplid 14866 . . 3  |-  ( ( C  e.  Grp  /\  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  e.  D )  ->  ( Q  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )
356, 32, 34syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Z >. ) )
3624oteq3d 4022 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. X ,  F ,  Y >.  =  <. X ,  F ,  .0.  >. )
3736fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  .0.  >. ) )
387, 8, 13, 20, 18mapdhval0 32621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  .0.  >.
)  =  Q )
3937, 38eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  Q )
4039oveq1d 6125 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )  =  ( Q 
.+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
4124oveq1d 6125 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =  (  .0.  .+  Z ) )
42 lmodgrp 15988 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  LMod  ->  U  e. 
Grp )
4325, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
44 mapdh.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  U )
4511, 44, 13grplid 14866 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  (  .0.  .+  Z
)  =  Z )
4643, 21, 45syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  Z
)  =  Z )
4741, 46eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =  Z )
4847oteq3d 4022 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. X ,  F , 
( Y  .+  Z
) >.  =  <. X ,  F ,  Z >. )
4948fveq2d 5761 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  Z >. ) )
5035, 40, 493eqtr4rd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( Y  .+  Z )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   _Vcvv 2962    \ cdif 3303   ifcif 3763   {csn 3838   {cpr 3839   <.cotp 3842    e. cmpt 4291   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1stc1st 6376   2ndc2nd 6377   iota_crio 6571   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   0gc0g 13754   Grpcgrp 14716   -gcsg 14719   LModclmod 15981   LSpanclspn 16078   HLchlt 30246   LHypclh 30879   DVecHcdvh 31974  LCDualclcd 32482  mapdcmpd 32520
This theorem is referenced by:  mapdh6kN  32642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-ot 3848  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-undef 6572  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-oppg 15173  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-dvr 15819  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206  df-lsatoms 29872  df-lshyp 29873  df-lcv 29915  df-lfl 29954  df-lkr 29982  df-ldual 30020  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-llines 30393  df-lplanes 30394  df-lvols 30395  df-lines 30396  df-psubsp 30398  df-pmap 30399  df-padd 30691  df-lhyp 30883  df-laut 30884  df-ldil 30999  df-ltrn 31000  df-trl 31054  df-tgrp 31638  df-tendo 31650  df-edring 31652  df-dveca 31898  df-disoa 31925  df-dvech 31975  df-dib 32035  df-dic 32069  df-dih 32125  df-doch 32244  df-djh 32291  df-lcdual 32483  df-mapd 32521
  Copyright terms: Public domain W3C validator