Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Unicode version

Theorem mapdh8ab 32576
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8ab.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8ab.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8ab.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8ab.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
mapdh8ab.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh8ab.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh8ab.yn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
h, E, x    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    I( x)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8ab.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh8ab.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh8ab.eg . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
18 mapdh8ab.ee . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
19 mapdh8ab.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8ab.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdh8ab.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 14dvhlvec 31908 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2319eldifad 3333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2420eldifad 3333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2521eldifad 3333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 16205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
2928necomd 2688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
30 mapdh8ab.yn . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
3129, 30neeqtrd 2624 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
32 mapdh8ab.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3330sseq1d 3376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
34 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
351, 2, 14dvhlmod 31909 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 16055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 16072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
3832eldifad 3333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 16072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
4033, 37, 393bitr4d 278 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
4126, 40mtbid 293 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4222adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
4320adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4438adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
4525adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4746adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
48 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
49 prcom 3883 . . . . . 6  |-  { Z ,  T }  =  { T ,  Z }
5049fveq2i 5732 . . . . 5  |-  ( N `
 { Z ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Z } )
5148, 50syl6eleq 2527 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { T ,  Z } ) )
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 16202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
5341, 52mtand 642 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 32575 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   _Vcvv 2957    \ cdif 3318    C_ wss 3321   ifcif 3740   {csn 3815   {cpr 3816   <.cotp 3819    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1stc1st 6348   2ndc2nd 6349   iota_crio 6543   Basecbs 13470   0gc0g 13724   -gcsg 14689   LSubSpclss 16009   LSpanclspn 16048   LVecclvec 16175   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877  LCDualclcd 32385  mapdcmpd 32423
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  32577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-ot 3825  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-oppg 15143  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-lsatoms 29775  df-lshyp 29776  df-lcv 29818  df-lfl 29857  df-lkr 29885  df-ldual 29923  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tgrp 31541  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-dveca 31801  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028  df-doch 32147  df-djh 32194  df-lcdual 32386  df-mapd 32424
  Copyright terms: Public domain W3C validator