Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Unicode version

Theorem mapdh8ab 31340
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8ab.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8ab.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8ab.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8ab.ee  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
mapdh8ab.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.t  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8ab.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
mapdh8ab.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
mapdh8ab.yn  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
h, E, x    h, Z, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)    Q( h)    U( x)    H( x, h)    I( x)    K( x, h)    V( x, h)    W( x, h)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . 2  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8ab.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 mapdh8ab.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 mapdh8ab.eg . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
18 mapdh8ab.ee . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Z >. )  =  E )
19 mapdh8ab.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 mapdh8ab.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 mapdh8ab.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 14dvhlvec 30672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
23 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2419, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
25 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2620, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
27 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
2821, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
29 mapdh8ab.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
303, 6, 22, 24, 26, 28, 29lspindpi 15885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3130simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3231necomd 2529 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
33 mapdh8ab.yn . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { T } ) )
3432, 33neeqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
35 mapdh8ab.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3633sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
37 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
381, 2, 14dvhlmod 30673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
393, 37, 6, 38, 26, 28lspprcl 15735 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
403, 37, 6, 38, 39, 24lspsnel5 15752 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
41 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  T  e.  V )
4235, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
433, 37, 6, 38, 39, 42lspsnel5 15752 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  ( N `  { T } ) 
C_  ( N `  { Y ,  Z }
) ) )
4436, 40, 433bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y ,  Z } )  <->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) ) )
4529, 44mtbid 291 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4622adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
4720adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4842adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  V
)
4928adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Z  e.  V
)
50 mapdh8ab.yz . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
5150adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
52 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
53 prcom 3705 . . . . . 6  |-  { Z ,  T }  =  { T ,  Z }
5453fveq2i 5528 . . . . 5  |-  ( N `
 { Z ,  T } )  =  ( N `  { T ,  Z } )
5552, 54syl6eleq 2373 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  Y  e.  ( N `  { T ,  Z } ) )
563, 5, 6, 46, 47, 48, 49, 51, 55lspexch 15882 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )  ->  T  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
5745, 56mtand 640 . 2  |-  ( ph  ->  -.  Y  e.  ( N `  { Z ,  T } ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 34, 35, 57, 29mapdh8aa 31339 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. Z ,  E ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640   {cpr 3641   <.cotp 3644    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   iota_crio 6297   Basecbs 13148   0gc0g 13400   -gcsg 14365   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855   HLchlt 28913   LHypclh 29546   DVecHcdvh 30641  LCDualclcd 31149  mapdcmpd 31187
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  31341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 28539  df-lshyp 28540  df-lcv 28582  df-lfl 28621  df-lkr 28649  df-ldual 28687  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061  df-lvols 29062  df-lines 29063  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-lhyp 29550  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667  df-trl 29721  df-tgrp 30305  df-tendo 30317  df-edring 30319  df-dveca 30565  df-disoa 30592  df-dvech 30642  df-dib 30702  df-dic 30736  df-dih 30792  df-doch 30911  df-djh 30958  df-lcdual 31150  df-mapd 31188
  Copyright terms: Public domain W3C validator