Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8d0N Unicode version

Theorem mapdh8d0N 32031
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 10-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8d.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8d.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh8b.eg  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
mapdh8d.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.xt  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh8d.wt  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.ut  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
mapdh8d.vw  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
mapdh8d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
mapdh8d0.e  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdh8d0N  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, G, x    h, J, x   
h, M, x    h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h    h, X, x    h, Y, x   
w, h, x    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x, w)    C( x, w)    D( w)    Q( w, h)    R( w)    T( w)    U( x, w)    F( w)    G( w)    H( x, w, h)    I( w)    J( w)    K( x, w, h)    M( w)    .- ( w)    N( w)    V( x, w, h)    W( x, w, h)    X( w)    Y( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem mapdh8d0N
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . 3  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 mapdh8b.eg . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G )
16 mapdh8d.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17 mapdh8d.mn . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
18 mapdh8d.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 mapdh8d.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
20 eldifi 3385 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
2119, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
221, 2, 14dvhlvec 31358 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
23 eldifi 3385 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2418, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
25 mapdh8d.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
26 eldifi 3385 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
2725, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
28 mapdh8d.xn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  w } ) )
293, 6, 22, 24, 21, 27, 28lspindpi 16095 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) ) )
3029simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
3110, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 21, 30mapdhcl 31976 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  e.  D )
3215, 31eqeltrrd 2441 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  D )
3310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 18, 19, 32, 30mapdheq 31977 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  G  <-> 
( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) ) )
3415, 33mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } )  /\  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { ( F R G ) } ) ) )
3534simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { G } ) )
36 mapdh8d.vw . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 15, 18, 19, 36, 25, 28mapdh8a 32024 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
38 mapdh8d.wt . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
39 mapdh8d.xt . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
40 mapdh8d0.e . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y ,  T } ) )
411, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 32, 35, 37, 19, 25, 38, 39, 36, 40, 28mapdh8b 32029 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. Y ,  G ,  T >. ) )
42 eqidd 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
43 mapdh8d.yz . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { T } ) )
44 mapdh8d.ut . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { T } ) )
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 42, 18, 19, 39, 43, 25, 38, 44, 36, 40, 28mapdh8c 32030 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
4641, 45eqtr3d 2400 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. Y ,  G ,  T >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  T >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   _Vcvv 2873    \ cdif 3235   ifcif 3654   {csn 3729   {cpr 3730   <.cotp 3733    e. cmpt 4179   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248   iota_crio 6439   Basecbs 13356   0gc0g 13610   -gcsg 14575   LSpanclspn 15938   HLchlt 29599   LHypclh 30232   DVecHcdvh 31327  LCDualclcd 31835  mapdcmpd 31873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-ot 3739  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-oppg 15029  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29225  df-lshyp 29226  df-lcv 29268  df-lfl 29307  df-lkr 29335  df-ldual 29373  df-oposet 29425  df-ol 29427  df-oml 29428  df-covers 29515  df-ats 29516  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600  df-llines 29746  df-lplanes 29747  df-lvols 29748  df-lines 29749  df-psubsp 29751  df-pmap 29752  df-padd 30044  df-lhyp 30236  df-laut 30237  df-ldil 30352  df-ltrn 30353  df-trl 30407  df-tgrp 30991  df-tendo 31003  df-edring 31005  df-dveca 31251  df-disoa 31278  df-dvech 31328  df-dib 31388  df-dic 31422  df-dih 31478  df-doch 31597  df-djh 31644  df-lcdual 31836  df-mapd 31874
  Copyright terms: Public domain W3C validator