Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9aOLDN Unicode version

Theorem mapdh9aOLDN 31906
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdh8a.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdh8a.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdh8a.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdh8a.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdh8a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdh8a.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdh8a.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdh8a.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdh8a.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
mapdh8a.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdh8a.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdh8a.i  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
mapdh8a.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdh8h.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdh8h.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdh9a.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdh9a.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdh9aOLDN  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    x, h,  .-    .0. , h, x    C, h    D, h, x    h, F, x    h, I    h, J, x    h, M, x   
h, N, x    ph, h    R, h, x    x, Q    T, h, x    U, h   
h, X, x    x, I    h, V    y, z, D    y, F, z    y, I, z    y, N, z   
y,  .0. , z    y, T, z    z, U    y, V, z    y, X, z    ph, y, z    z, h, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem mapdh9aOLDN
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdh8a.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdh8a.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 mapdh8a.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 mapdh8a.o . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 mapdh8a.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdh8a.c . . . . . 6  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 mapdh8a.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 mapdh8a.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 mapdh8a.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 mapdh8a.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdh8a.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdh8a.i . . . . . 6  |-  I  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 mapdh8a.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15143ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 mapdh8h.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
17163ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  F  e.  D )
18 mapdh8h.mn . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
19183ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
20 mapdh9a.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21203ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
22 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
231, 2, 14dvhlmod 31225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
24233ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LMod )
25 eldifi 3412 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
2620, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
27 mapdh9a.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
283, 22, 6, 23, 26, 27lspprcl 15981 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
29283ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  T } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
30 simp2l 983 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  V )
31 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
323, 5, 22, 24, 29, 30, 31lssneln0 15955 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
33 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  V )
34 simp3r 986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )
353, 5, 22, 24, 29, 33, 34lssneln0 15955 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  w  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
361, 2, 14dvhlvec 31224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
37363ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  U  e.  LVec )
38263ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  X  e.  V )
39273ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  T  e.  V )
403, 6, 37, 30, 38, 39, 31lspindpi 16131 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4140simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4241necomd 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
433, 6, 37, 33, 38, 39, 34lspindpi 16131 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
4443simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4544necomd 2633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { w } ) )
4640simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
4743simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { T } ) )
481, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 32, 35, 42, 45, 46, 47, 39mapdh8 31904 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  /\  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
49483exp 1152 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) ) )
5049ralrimivv 2740 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) )  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) ) )
511, 2, 3, 6, 14, 26, 27dvh3dim 31561 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
5214ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5316ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  F  e.  D )
5418ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
5520ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
56 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  V )
5736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LVec )
5826ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  X  e.  V )
5927ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  T  e.  V )
60 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )
613, 6, 57, 56, 58, 59, 60lspindpi 16131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { T } ) ) )
6261simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
6362necomd 2633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
6410, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 56, 63mapdhcl 31842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  e.  D
)
65 eqidd 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. X ,  F ,  z
>. )  =  (
I `  <. X ,  F ,  z >. ) )
6623ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  U  e.  LMod )
6728ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  { X ,  T }
)  e.  ( LSubSp `  U ) )
683, 5, 22, 66, 67, 56, 60lssneln0 15955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6910, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 53, 54, 55, 68, 64, 63mapdheq 31843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  <-> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) ) )
7065, 69mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  z ) } ) )  =  ( J `  { ( F R ( I `
 <. X ,  F ,  z >. )
) } ) ) )
7170simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( M `  ( N `  { z } ) )  =  ( J `  {
( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) } ) )
7261simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( N `  {
z } )  =/=  ( N `  { T } ) )
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 52, 64, 71, 68, 59, 72mapdhcl 31842 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )
7473ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
7574ancld 537 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7675reximdva 2761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  e.  D ) ) )
7751, 76mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D ) )
78 eleq1 2447 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  <->  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) ) )
7978notbid 286 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  <->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T }
) ) )
80 oteq1 3935 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
81 oteq3 3937 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  <. X ,  F ,  z >.  = 
<. X ,  F ,  w >. )
8281fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) )
83 oteq2 3936 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8482, 83syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  <. w ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8580, 84eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
8685fveq2d 5672 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )
8779, 86reusv3 4671 . . . 4  |-  ( E. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  e.  D )  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
8877, 87syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  A. w  e.  V  ( ( -.  z  e.  ( N `
 { X ,  T } )  /\  -.  w  e.  ( N `  { X ,  T } ) )  -> 
( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  =  ( I `
 <. w ,  ( I `  <. X ,  F ,  w >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
8950, 88mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
90 reusv1 4663 . . 3  |-  ( E. z  e.  V  -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
9151, 90syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T }
)  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )  <->  E. y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  ->  y  =  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) ) ) )
9289, 91mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( N `  { X ,  T } )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   E!wreu 2651   _Vcvv 2899    \ cdif 3260   ifcif 3682   {csn 3757   {cpr 3758   <.cotp 3761    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1stc1st 6286   2ndc2nd 6287   iota_crio 6478   Basecbs 13396   0gc0g 13650   -gcsg 14615   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LSpanclspn 15974   LVecclvec 16101   HLchlt 29465   LHypclh 30098   DVecHcdvh 31193  LCDualclcd 31701  mapdcmpd 31739
This theorem is referenced by:  hdmap1eulemOLDN  31940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-ot 3767  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-undef 6479  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-oppg 15069  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-dvr 15715  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091  df-lshyp 29092  df-lcv 29134  df-lfl 29173  df-lkr 29201  df-ldual 29239  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613  df-lvols 29614  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102  df-laut 30103  df-ldil 30218  df-ltrn 30219  df-trl 30273  df-tgrp 30857  df-tendo 30869  df-edring 30871  df-dveca 31117  df-disoa 31144  df-dvech 31194  df-dib 31254  df-dic 31288  df-dih 31344  df-doch 31463  df-djh 31510  df-lcdual 31702  df-mapd 31740
  Copyright terms: Public domain W3C validator