Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdin Unicode version

Theorem mapdin 31778
Description: Subspace intersection is preserved by the map defined by df-mapd 31741. Part of property (e) in [Baer] p. 40. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdin.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdin.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdin.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdin.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdin.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdin.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdin.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdin  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )

Proof of Theorem mapdin
StepHypRef Expression
1 inss1 3505 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2 mapdin.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdin.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdin.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
5 mapdin.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdin.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
72, 3, 6dvhlmod 31226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
8 mapdin.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
9 mapdin.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
104lssincl 15969 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  S  /\  Y  e.  S )  ->  ( X  i^i  Y )  e.  S )
117, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  S )
122, 3, 4, 5, 6, 11, 8mapdord 31754 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  X
) )
131, 12mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  X ) )
14 inss2 3506 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
152, 3, 4, 5, 6, 11, 9mapdord 31754 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( X  i^i  Y ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( X  i^i  Y )  C_  Y
) )
1614, 15mpbiri 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( M `  Y ) )
1713, 16ssind 3509 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) ) 
C_  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
18 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
19 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)  =  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
)
202, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 8mapdcl2 31772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
212, 5, 18, 19, 6mapdrn2 31767 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  M  =  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )
2220, 21eleqtrrd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  e.  ran  M
)
232, 5, 3, 4, 18, 19, 6, 9mapdcl2 31772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
2423, 21eleqtrrd 2465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  e.  ran  M
)
252, 5, 3, 18, 6, 22, 24mapdincl 31777 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
262, 5, 6, 25mapdcnvid2 31773 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
27 inss1 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  X )
2826, 27syl6eqss 3342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X ) )
292, 18, 6lcdlmod 31708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod )
3019lssincl 15969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (LCDual `  K
) `  W )  e.  LMod  /\  ( M `  X )  e.  (
LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  /\  ( M `  Y )  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) )  -> 
( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3129, 20, 23, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ( LSubSp `  ( (LCDual `  K
) `  W )
) )
3231, 21eleqtrrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  e.  ran  M
)
332, 5, 3, 4, 6, 32mapdcnvcl 31768 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  e.  S
)
342, 3, 4, 5, 6, 33, 8mapdord 31754 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  X )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  X ) )
3528, 34mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  X
)
362, 5, 6, 32mapdcnvid2 31773 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  =  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) )
37 inss2 3506 . . . . . . 7  |-  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) )  C_  ( M `  Y )
3836, 37syl6eqss 3342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y ) )
392, 3, 4, 5, 6, 33, 9mapdord 31754 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  Y )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  Y ) )
4038, 39mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  Y
)
4135, 40ssind 3509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
) )  C_  ( X  i^i  Y ) )
422, 3, 4, 5, 6, 33, 11mapdord 31754 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) )  <->  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y
) ) )  C_  ( X  i^i  Y ) ) )
4341, 42mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( `' M `  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y ) ) ) )  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4426, 43eqsstr3d 3327 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  i^i  ( M `  Y )
)  C_  ( M `  ( X  i^i  Y
) ) )
4517, 44eqssd 3309 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( X  i^i  Y ) )  =  ( ( M `
 X )  i^i  ( M `  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3263    C_ wss 3264   `'ccnv 4818   ran crn 4820   ` cfv 5395   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DVecHcdvh 31194  LCDualclcd 31702  mapdcmpd 31740
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  31847  mapdh6lem1N  31849  mapdh6lem2N  31850  hdmap1l6lem1  31924  hdmap1l6lem2  31925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-undef 6480  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lvec 16103  df-lsatoms 29092  df-lshyp 29093  df-lcv 29135  df-lfl 29174  df-lkr 29202  df-ldual 29240  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615  df-lines 29616  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-lhyp 30103  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220  df-trl 30274  df-tgrp 30858  df-tendo 30870  df-edring 30872  df-dveca 31118  df-disoa 31145  df-dvech 31195  df-dib 31255  df-dic 31289  df-dih 31345  df-doch 31464  df-djh 31511  df-lcdual 31703  df-mapd 31741
  Copyright terms: Public domain W3C validator