Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp0 32454
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
mapdindp1.yz  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 mapdindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 16170 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 mapdindp1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
98, 1, 2lspsncl 16045 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
105, 7, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
11 mapdindp1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
1211, 10eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
13 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
141, 13lsmcl 16147 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
155, 10, 12, 14syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
161lsssssubg 16026 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
175, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1817, 10sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
1911, 18eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
208, 2lspsnid 16061 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
215, 7, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
22 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2322eldifad 3324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
248, 2lspsnid 16061 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  ( N `  { Z } ) )
255, 23, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { Z }
) )
26 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2726, 13lsmelvali 15276 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( Y  e.  ( N `  { Y } )  /\  Z  e.  ( N `  { Z } ) ) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
2818, 19, 21, 25, 27syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
291, 2, 5, 15, 28lspsnel5a 16064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3011oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3113lsmidm 15288 . . . . 5  |-  ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  { Y } ) )
3218, 31syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3330, 32eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3429, 33sseqtrd 3376 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
35 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
368, 26lmodvacl 15956 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
375, 7, 23, 36syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
38 mapdindp1.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
39 eldifsn 3919 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4037, 38, 39sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
418, 35, 2, 3, 40, 7lspsncmp 16180 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) 
C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4234, 41mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  mapdindp1  32455  mapdindp2  32456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator