Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Unicode version

Theorem mapdindp0 32531
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
mapdindp1.yz  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 mapdindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 15875 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 mapdindp1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3311 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 mapdindp1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
109, 1, 2lspsncl 15750 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
115, 8, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
12 mapdindp1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
1312, 11eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
14 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
151, 14lsmcl 15852 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
165, 11, 13, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
171lsssssubg 15731 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
185, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1918, 11sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
2012, 19eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
219, 2lspsnid 15766 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
225, 8, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
23 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 eldifi 3311 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
269, 2lspsnid 15766 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  ( N `  { Z } ) )
275, 25, 26syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { Z }
) )
28 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2928, 14lsmelvali 14977 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( Y  e.  ( N `  { Y } )  /\  Z  e.  ( N `  { Z } ) ) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3019, 20, 22, 27, 29syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
311, 2, 5, 16, 30lspsnel5a 15769 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3212oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3314lsmidm 14989 . . . . 5  |-  ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  { Y } ) )
3419, 33syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3532, 34eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3631, 35sseqtrd 3227 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
37 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
389, 28lmodvacl 15657 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
395, 8, 25, 38syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
40 mapdindp1.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
41 eldifsn 3762 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4239, 40, 41sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
439, 37, 2, 3, 42, 8lspsncmp 15885 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) 
C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4436, 43mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  mapdindp1  32532  mapdindp2  32533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator