Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp0 Unicode version

Theorem mapdindp0 31909
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
mapdindp1.yz  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdindp0  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem mapdindp0
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 mapdindp1.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
3 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 15859 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 mapdindp1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 mapdindp1.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
109, 1, 2lspsncl 15734 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
115, 8, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
12 mapdindp1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
1312, 11eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
14 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
151, 14lsmcl 15836 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W
) )
165, 11, 13, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
171lsssssubg 15715 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
185, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
1918, 11sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
2012, 19eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )
219, 2lspsnid 15750 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
225, 8, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
23 mapdindp1.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
24 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
2523, 24syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
269, 2lspsnid 15750 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  ( N `  { Z } ) )
275, 25, 26syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( N `
 { Z }
) )
28 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2928, 14lsmelvali 14961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { Z } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( Y  e.  ( N `  { Y } )  /\  Z  e.  ( N `  { Z } ) ) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
3019, 20, 22, 27, 29syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( ( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Z }
) ) )
311, 2, 5, 16, 30lspsnel5a 15753 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3212oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) ) )
3314lsmidm 14973 . . . . 5  |-  ( ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W )  ->  (
( N `  { Y } ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { Y }
) )  =  ( N `  { Y } ) )
3419, 33syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3532, 34eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { Z } ) )  =  ( N `  { Y } ) )
3631, 35sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
37 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
389, 28lmodvacl 15641 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
395, 8, 25, 38syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
40 mapdindp1.yz . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  =/=  .0.  )
41 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( ( Y  .+  Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( ( Y  .+  Z )  e.  V  /\  ( Y 
.+  Z )  =/= 
.0.  ) )
4239, 40, 41sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
439, 37, 2, 3, 42, 8lspsncmp 15869 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) 
C_  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4436, 43mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400  SubGrpcsubg 14615   LSSumclsm 14945   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  mapdindp1  31910  mapdindp2  31911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator