Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp3 32618
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16209 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3318 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
6 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3318 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 mapdindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
118, 9, 10lspvadd 16199 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
w  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
123, 5, 7, 11syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
13 mapdindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
14 mapdindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdindp1.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
16 mapdindp1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
178, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16lspindp1 16236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
1817simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
1912, 18ssneldd 3337 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )
2014eldifad 3318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
218, 10lspsnid 16100 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
223, 20, 21syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
23 eleq2 2503 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( w  .+  Y ) } )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <-> 
X  e.  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) } ) ) )
2422, 23syl5ibcom 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  ->  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
2524necon3bd 2644 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
2619, 25mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605    \ cdif 3303    C_ wss 3306   {csn 3838   {cpr 3839   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500   +g cplusg 13560   0gc0g 13754   LModclmod 15981   LSpanclspn 16078   LVecclvec 16205
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  32636  hdmap1l6e  32711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206
  Copyright terms: Public domain W3C validator