Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Unicode version

Theorem mapdindp3 31981
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 mapdindp1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
9 mapdindp1.W . . . . . 6  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
10 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  w  e.  V )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
12 mapdindp1.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
13 mapdindp1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13lspindp1 15985 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
1514simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
16 lveclmod 15958 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
174, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
18 mapdindp1.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
191, 18, 3lspvadd 15948 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
w  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
2017, 11, 8, 19syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
2120sseld 3255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } )  ->  X  e.  ( N `  {
w ,  Y }
) ) )
2215, 21mtod 168 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )
23 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
245, 23syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
251, 3lspsnid 15849 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
2617, 24, 25syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
27 eleq2 2419 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( w  .+  Y ) } )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <-> 
X  e.  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) } ) ) )
2826, 27syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  ->  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
2928necon3bd 2558 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
3022, 29mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521    \ cdif 3225    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   LModclmod 15726   LSpanclspn 15827   LVecclvec 15954
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  31999  hdmap1l6e  32074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955
  Copyright terms: Public domain W3C validator