Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp3 Unicode version

Theorem mapdindp3 32205
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp3
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16133 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
6 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 mapdindp1.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 mapdindp1.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
118, 9, 10lspvadd 16123 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
w  .+  Y ) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
123, 5, 7, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  C_  ( N `  { w ,  Y } ) )
13 mapdindp1.o . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
14 mapdindp1.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdindp1.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
16 mapdindp1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
178, 13, 10, 1, 14, 7, 5, 15, 16lspindp1 16160 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
1817simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
1912, 18ssneldd 3311 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )
2014eldifad 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
218, 10lspsnid 16024 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  ( N `  { X } ) )
223, 20, 21syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { X }
) )
23 eleq2 2465 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { ( w  .+  Y ) } )  ->  ( X  e.  ( N `  { X } )  <-> 
X  e.  ( N `
 { ( w 
.+  Y ) } ) ) )
2422, 23syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  ->  X  e.  ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
2524necon3bd 2604 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  -> 
( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) ) )
2619, 25mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   LModclmod 15905   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  32223  hdmap1l6e  32298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
  Copyright terms: Public domain W3C validator