Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp4 Structured version   Unicode version

Theorem mapdindp4 32523
Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 29-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp1.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
mapdindp1.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
mapdindp1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
mapdindp1.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
mapdindp1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
mapdindp1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.W  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdindp1.e  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
mapdindp1.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdindp1.f  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdindp4  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )

Proof of Theorem mapdindp4
StepHypRef Expression
1 mapdindp1.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 mapdindp1.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
3 mapdindp1.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 mapdindp1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 mapdindp1.z . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 lveclmod 16180 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 mapdindp1.W . . . . 5  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
10 mapdindp1.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdindp1.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
131, 12lmodvacl 15966 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  e.  V )
147, 9, 11, 13syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  e.  V )
15 mapdindp1.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1615eldifad 3334 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdindp1.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
18 mapdindp1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
191, 3, 4, 9, 16, 11, 18lspindpi 16206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
2019simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2120necomd 2689 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { w } ) )
221, 12, 2, 3, 4, 11, 8, 21lspindp3 16210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { ( Y  .+  w ) } ) )
231, 12lmodcom 15992 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  w  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
w  .+  Y )  =  ( Y  .+  w ) )
247, 9, 11, 23syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  w ) )
2524sneqd 3829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( w  .+  Y ) }  =  { ( Y  .+  w ) } )
2625fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  w
) } ) )
2722, 26neeqtrrd 2627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
2817, 27eqnetrrd 2623 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { (
w  .+  Y ) } ) )
29 mapdindp1.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
301, 2, 3, 4, 15, 11, 9, 29, 18lspindp1 16207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3130simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
32 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
335eldifad 3334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
341, 3, 32, 7, 33, 14lsmpr 16163 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Z }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
351, 12lmodcom 15992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  w  e.  V )  ->  ( Y  .+  w )  =  ( w  .+  Y
) )
367, 11, 9, 35syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  w
)  =  ( w 
.+  Y ) )
3736preq2d 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { Y ,  ( Y  .+  w ) }  =  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )
3837fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  ( w 
.+  Y ) } ) )
391, 12, 3, 7, 11, 9lspprabs 16169 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( Y  .+  w ) } )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
401, 3, 32, 7, 11, 14lsmpr 16163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( ( N `
 { Y }
) ( LSSum `  W
) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
4138, 39, 403eqtr3rd 2479 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  { Y ,  w }
) )
4217oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) ) )
43 prcom 3884 . . . . . . . 8  |-  { Y ,  w }  =  {
w ,  Y }
4443fveq2i 5733 . . . . . . 7  |-  ( N `
 { Y ,  w } )  =  ( N `  { w ,  Y } )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  w }
)  =  ( N `
 { w ,  Y } ) )
4641, 42, 453eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Z } ) (
LSSum `  W ) ( N `  { ( w  .+  Y ) } ) )  =  ( N `  {
w ,  Y }
) )
4734, 46eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } )  =  ( N `  { w ,  Y } ) )
4831, 47neleqtrrd 2534 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Z ,  ( w  .+  Y ) } ) )
491, 2, 3, 4, 5, 14, 16, 28, 48lspindp1 16207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  {
( w  .+  Y
) } )  /\  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) ) )
5049simprd 451 1  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { X ,  ( w  .+  Y ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   LSSumclsm 15270   LModclmod 15952   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  mapdh6eN  32540  hdmap1l6e  32615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator