Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdn0 Structured version   Unicode version

Theorem mapdn0 32541
Description: Transfer non-zero property from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdindp.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdindp.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdindp.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdindp.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdindp.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdindp.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
mapdindp.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdindp.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdindp.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
mapdindp.mx  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
mapdn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdn0.z  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
mapdn0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
Assertion
Ref Expression
mapdn0  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )

Proof of Theorem mapdn0
StepHypRef Expression
1 mapdindp.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
2 mapdn0.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3 eldifsni 3930 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
5 mapdindp.mx . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
6 sneq 3827 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  Z  ->  { F }  =  { Z } )
76fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  Z  ->  ( J `  { F } )  =  ( J `  { Z } ) )
85, 7sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `
 { Z }
) )
9 mapdindp.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
10 mapdindp.m . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
11 mapdindp.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
12 mapdn0.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
13 mapdindp.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
14 mapdn0.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  C
)
15 mapdindp.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15mapd0 32537 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  { Z } )
179, 13, 15lcdlmod 32464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
18 mapdindp.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1914, 18lspsn0 16089 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( J `
 { Z }
)  =  { Z } )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J `  { Z } )  =  { Z } )
2116, 20eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M `  {  .0.  } )  =  ( J `  { Z } ) )
2221adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  {  .0.  }
)  =  ( J `
 { Z }
) )
238, 22eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  =  Z )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `
 {  .0.  }
) )
2423ex 425 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } ) ) )
25 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
269, 11, 15dvhlmod 31982 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
272eldifad 3334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
28 mapdindp.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
29 mapdindp.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
3028, 25, 29lspsncl 16058 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3126, 27, 30syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3212, 25lsssn0 16029 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  LMod  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U
) )
3326, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  ( LSubSp `  U )
)
349, 11, 25, 10, 15, 31, 33mapd11 32511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  }
) )
3528, 12, 29lspsneq0 16093 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3626, 27, 35syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  {  .0.  }  <->  X  =  .0.  ) )
3734, 36bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `  {  .0.  } )  <->  X  =  .0.  ) )
3824, 37sylibd 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  =  Z  ->  X  =  .0.  ) )
3938necon3d 2641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  .0.  ->  F  =/=  Z ) )
404, 39mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  F  =/=  Z )
41 eldifsn 3929 . 2  |-  ( F  e.  ( D  \  { Z } )  <->  ( F  e.  D  /\  F  =/= 
Z ) )
421, 40, 41sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D 
\  { Z }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   ` cfv 5457   Basecbs 13474   0gc0g 13728   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950  LCDualclcd 32458  mapdcmpd 32496
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  32603  mapdh6lem1N  32605  mapdh6lem2N  32606  hdmap1l6lem1  32680  hdmap1l6lem2  32681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lcv 29891  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-ldual 29996  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267  df-lcdual 32459  df-mapd 32497
  Copyright terms: Public domain W3C validator