Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdordlem2 Unicode version

Theorem mapdordlem2 31827
Description: Lemma for mapdord 31828. Ordering property of projectivity  M. TODO: This was proved using some hacked-up older proofs. Maybe simplify; get rid of the 
T hypothesis. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdord.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdord.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdord.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdord.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdord.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdord.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
mapdord.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdord.a  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
mapdord.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdord.c  |-  J  =  (LSHyp `  U )
mapdord.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdord.t  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
mapdord.q  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
Assertion
Ref Expression
mapdordlem2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Distinct variable groups:    g, K    U, g    g, W    g, F    g, J    g, L    g, O
Allowed substitution hints:    ph( g)    A( g)    C( g)    S( g)    T( g)    H( g)    M( g)    X( g)    Y( g)

Proof of Theorem mapdordlem2
Dummy variables  f  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdord.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdord.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdord.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
4 mapdord.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdord.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdord.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdord.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdord.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 mapdord.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
10 mapdord.q . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 31819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  X
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X } )
12 mapdord.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 10mapdvalc 31819 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  Y
)  =  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
1411, 13sseq12d 3207 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
15 ss2rab 3249 . . . . 5  |-  ( { f  e.  C  | 
( O `  ( L `  f )
)  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }  <->  A. f  e.  C  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
17 mapdord.c . . . . . . . . 9  |-  J  =  (LSHyp `  U )
18 mapdord.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  e.  J }
191, 6, 2, 16, 17, 4, 5, 18, 10, 8mapdordlem1a 31824 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) )  e.  J ) ) )
20 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
f  e.  C )
21 idd 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2220, 21embantd 50 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  C  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )  -> 
( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
2322ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  /\  ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J
)  ->  ( (
f  e.  C  -> 
( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )  ->  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2419, 23sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) ) )
2524com23 72 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  C  ->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)  ->  ( f  e.  T  ->  ( ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y ) ) ) )
2625ralimdv2 2623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  C  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
2715, 26syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
28 mapdord.a . . . . . 6  |-  A  =  (LSAtoms `  U )
291, 2, 8dvhlmod 31300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
303, 28, 29, 9, 12lssatle 29205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  <->  A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p 
C_  Y ) ) )
3118mapdordlem1 31826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  <->  ( f  e.  F  /\  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J ) )
3231simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  T  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
3332adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  e.  J )
348adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3531simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  T  ->  f  e.  F )
3635adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  f  e.  F )
371, 6, 2, 4, 17, 5, 34, 36dochlkr 31575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  e.  J  <->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( L `  f )  e.  J
) ) )
3833, 37mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( L `  f )  e.  J ) )
3938simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
) )
4038simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( L `  f )  e.  J )
411, 6, 2, 28, 17, 34, 40dochshpsat 31644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  <->  ( O `  ( L `  f
) )  e.  A
) )
4239, 41mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  T )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  e.  A )
431, 2, 8dvhlvec 31299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
4443adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LVec )
458adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  A )
471, 2, 6, 28, 17, 45, 46dochsatshp 31641 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  J )
4817, 4, 5lshpkrex 29308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  LVec  /\  ( O `  p )  e.  J )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
4944, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
50 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  F  ( L `  f )  =  ( O `  p )  <->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) ) )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  F
)
53 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( L `  f )  =  ( O `  p ) )
5453fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  =  ( O `
 ( O `  p ) ) )
5554fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 ( O `  ( O `  p ) ) ) )
5629adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  U  e.  LMod )
5716, 28, 56, 46lsatssv 29188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  C_  ( Base `  U
) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
DIsoH `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoH `  K ) `  W )
591, 58, 2, 16, 6dochcl 31543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  C_  ( Base `  U ) )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6045, 57, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
611, 58, 6dochoc 31557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( O `  p )  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p )
) )  =  ( O `  p ) )
6245, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  ( O `  p
) ) )  =  ( O `  p
) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( O `
 p ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6455, 63eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( O `
 p ) )
6547adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  p )  e.  J
)
6664, 65eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  e.  J )
6752, 66, 31sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  f  e.  T
)
681, 2, 58, 28dih1dimat 31520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)
6945, 46, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K ) `  W
) )
701, 58, 6dochoc 31557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  p  e.  ran  ( ( DIsoH `  K
) `  W )
)  ->  ( O `  ( O `  p
) )  =  p )
7145, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( O `  ( O `  p ) )  =  p )
7354, 72eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
7467, 73jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  A )  /\  (
f  e.  F  /\  ( L `  f )  =  ( O `  p ) ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) )
7574ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  (
( f  e.  F  /\  ( L `  f
)  =  ( O `
 p ) )  ->  ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f )
) ) ) )
7675eximdv 1608 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  ( E. f ( f  e.  F  /\  ( L `
 f )  =  ( O `  p
) )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) ) )
7751, 76mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f
( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
78 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `  f ) )  <->  E. f ( f  e.  T  /\  p  =  ( O `  ( L `  f ) ) ) )
7977, 78sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  A )  ->  E. f  e.  T  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )
80 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  X  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X )
)
81 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( p  C_  Y  <->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
)
8280, 81imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( O `  ( L `  f ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8382adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  =  ( O `  ( L `
 f ) ) )  ->  ( (
p  C_  X  ->  p 
C_  Y )  <->  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )
) )
8442, 79, 83ralxfrd 4548 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  A  ( p  C_  X  ->  p  C_  Y
)  <->  A. f  e.  T  ( ( O `  ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) ) )
8530, 84bitr2d 245 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  T  ( ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
8627, 85sylibd 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  ->  X 
C_  Y ) )
87 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  X  C_  Y )
88 sstr 3187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( O `  ( L `  f )
)  C_  X  /\  X  C_  Y )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
8988ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  X )  -> 
( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
9089a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( X  C_  Y  /\  ( O `  ( L `  f )
)  C_  X )  ->  ( O `  ( L `  f )
)  C_  Y )
)
9187, 90mpand 656 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  C_  Y )  /\  f  e.  C )  ->  (
( O `  ( L `  f )
)  C_  X  ->  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y ) )
9291ss2rabdv 3254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  C_  Y
)  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y } )
9392ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  C_  Y  ->  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  X }  C_ 
{ f  e.  C  |  ( O `  ( L `  f ) )  C_  Y }
) )
9486, 93impbid 183 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  e.  C  |  ( O `
 ( L `  f ) )  C_  X }  C_  { f  e.  C  |  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  Y }  <->  X  C_  Y
) )
9514, 94bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LVecclvec 15855  LSAtomsclsa 29164  LSHypclsh 29165  LFnlclfn 29247  LKerclk 29275   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268   DIsoHcdih 31418   ocHcoch 31537  mapdcmpd 31814
This theorem is referenced by:  mapdord  31828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585  df-mapd 31815
  Copyright terms: Public domain W3C validator