Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem11 Unicode version

Theorem mapdpglem11 31924
Description: Lemma for mapdpg 31948. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem11  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem11
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.ne . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 mapdpglem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdpglem.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdpglem.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 mapdpglem.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
7 mapdpglem.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 mapdpglem.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  X  e.  V )
13 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  Y  e.  V )
15 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
16 mapdpglem2.j . . . . 5  |-  J  =  ( LSpan `  C )
17 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
18 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
20 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
21 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
22 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
23 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
24 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
2726adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
28 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
291adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =/=  ( N `
 { Y }
) )
30 mapdpglem4.jt . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
3130adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
32 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
33 mapdpglem4.g4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  g  e.  B )
35 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
3635adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
37 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
3837adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
39 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
4039adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  X  =/= 
Q )
41 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  g  =  .0.  )
422, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 38, 40, 41mapdpglem10 31923 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 { Y }
) )
4342ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4443necon3d 2559 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  g  =/=  .0.  ) )
451, 44mpd 14 1  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   {csn 3716   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239  Scalarcsca 13302   .scvsca 13303   0gc0g 13493   -gcsg 14458   LSSumclsm 15038   LSpanclspn 15821   HLchlt 29592   LHypclh 30225   DVecHcdvh 31320  LCDualclcd 31828  mapdcmpd 31866
This theorem is referenced by:  mapdpglem17N  31930  mapdpglem18  31931  mapdpglem19  31932  mapdpglem21  31934  mapdpglem22  31935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-undef 6382  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-0g 13497  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-poset 14173  df-plt 14185  df-lub 14201  df-glb 14202  df-join 14203  df-meet 14204  df-p0 14238  df-p1 14239  df-lat 14245  df-clat 14307  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-oppg 14912  df-lsm 15040  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-dvr 15558  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949  df-lsatoms 29218  df-lshyp 29219  df-lcv 29261  df-lfl 29300  df-lkr 29328  df-ldual 29366  df-oposet 29418  df-ol 29420  df-oml 29421  df-covers 29508  df-ats 29509  df-atl 29540  df-cvlat 29564  df-hlat 29593  df-llines 29739  df-lplanes 29740  df-lvols 29741  df-lines 29742  df-psubsp 29744  df-pmap 29745  df-padd 30037  df-lhyp 30229  df-laut 30230  df-ldil 30345  df-ltrn 30346  df-trl 30400  df-tgrp 30984  df-tendo 30996  df-edring 30998  df-dveca 31244  df-disoa 31271  df-dvech 31321  df-dib 31381  df-dic 31415  df-dih 31471  df-doch 31590  df-djh 31637  df-lcdual 31829  df-mapd 31867
  Copyright terms: Public domain W3C validator