Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem11 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem11 32578
Description: Lemma for mapdpg 32602. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem11  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem11
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.ne . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2 mapdpglem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdpglem.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdpglem.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 mapdpglem.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
7 mapdpglem.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 mapdpglem.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
109adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  X  e.  V )
13 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1413adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  Y  e.  V )
15 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
16 mapdpglem2.j . . . . 5  |-  J  =  ( LSpan `  C )
17 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
18 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
20 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
21 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
22 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
23 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
24 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
2524adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
2726adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
28 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
291adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =/=  ( N `
 { Y }
) )
30 mapdpglem4.jt . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
3130adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( M `
 ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `
 { t } ) )
32 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
33 mapdpglem4.g4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
3433adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  g  e.  B )
35 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
3635adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
37 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
3837adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
39 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
4039adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  X  =/= 
Q )
41 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  g  =  .0.  )
422, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 34, 36, 38, 40, 41mapdpglem10 32577 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 { Y }
) )
4342ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } ) ) )
4443necon3d 2645 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  ->  g  =/=  .0.  ) )
451, 44mpd 15 1  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   {csn 3838   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Basecbs 13500  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   0gc0g 13754   -gcsg 14719   LSSumclsm 15299   LSpanclspn 16078   HLchlt 30246   LHypclh 30879   DVecHcdvh 31974  LCDualclcd 32482  mapdcmpd 32520
This theorem is referenced by:  mapdpglem17N  32584  mapdpglem18  32585  mapdpglem19  32586  mapdpglem21  32588  mapdpglem22  32589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6508  df-undef 6572  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-0g 13758  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-sbg 14845  df-subg 14972  df-cntz 15147  df-oppg 15173  df-lsm 15301  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-ur 15696  df-oppr 15759  df-dvdsr 15777  df-unit 15778  df-invr 15808  df-dvr 15819  df-drng 15868  df-lmod 15983  df-lss 16040  df-lsp 16079  df-lvec 16206  df-lsatoms 29872  df-lshyp 29873  df-lcv 29915  df-lfl 29954  df-lkr 29982  df-ldual 30020  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-llines 30393  df-lplanes 30394  df-lvols 30395  df-lines 30396  df-psubsp 30398  df-pmap 30399  df-padd 30691  df-lhyp 30883  df-laut 30884  df-ldil 30999  df-ltrn 31000  df-trl 31054  df-tgrp 31638  df-tendo 31650  df-edring 31652  df-dveca 31898  df-disoa 31925  df-dvech 31975  df-dib 32035  df-dic 32069  df-dih 32125  df-doch 32244  df-djh 32291  df-lcdual 32483  df-mapd 32521
  Copyright terms: Public domain W3C validator