Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem12 Unicode version

Theorem mapdpglem12 32170
Description: Lemma for mapdpg 32193. TODO: Can some commonality with mapdpglem6 32165 through mapdpglem11 32169 be exploited? Also, some consolidation of small lemmas here could be done. (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem12.g0  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem12  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem12
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlmod 32079 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
6 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
7 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2408 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 eqid 2408 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
102, 7, 4dvhlmod 31597 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
13 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1412, 8, 13lspsncl 16012 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1510, 11, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 32143 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
17 mapdpglem3.a . . . 4  |-  A  =  (Scalar `  U )
18 mapdpglem3.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
19 mapdpglem3.f . . . 4  |-  F  =  ( Base `  C
)
20 mapdpglem3.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
21 mapdpglem4.g4 . . . 4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
22 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
23 mapdpglem2.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( LSpan `  C )
2419, 23lspsnid 16028 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  G  e.  ( J `  { G } ) )
255, 22, 24syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J `
 { G }
) )
26 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
2725, 26eleqtrrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
282, 7, 17, 18, 3, 19, 20, 9, 4, 16, 21, 27lcdlssvscl 32093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
29 mapdpglem12.g0 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
30 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
3130, 9lss0cl 15982 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
325, 16, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
3329, 32eqeltrd 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
34 mapdpglem3.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
3534, 9lssvsubcl 15979 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( (
g  .x.  G )  e.  ( M `  ( N `  { X } ) )  /\  z  e.  ( M `  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  ( (
g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `  ( N `  { X } ) ) )
365, 16, 28, 33, 35syl22anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
371, 36eqeltrd 2482 1  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   {csn 3778   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428  Scalarcsca 13491   .scvsca 13492   0gc0g 13682   -gcsg 14647   LSSumclsm 15227   LModclmod 15909   LSubSpclss 15967   LSpanclspn 16006   HLchlt 29837   LHypclh 30470   DVecHcdvh 31565  LCDualclcd 32073  mapdcmpd 32111
This theorem is referenced by:  mapdpglem13  32171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lcv 29506  df-lfl 29545  df-lkr 29573  df-ldual 29611  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882  df-lcdual 32074  df-mapd 32112
  Copyright terms: Public domain W3C validator