Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem13 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem13 32482
Description: Lemma for mapdpg 32504. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem12.g0  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem13  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { X } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem13
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
4 mapdpglem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 mapdpglem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6lcdlmod 32390 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
8 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
9 mapdpglem.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
114, 9, 6dvhlmod 31908 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 mapdpglem.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1513, 10, 14lspsncl 16053 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1611, 12, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
174, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16mapdcl2 32454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
18 mapdpglem.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
20 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
21 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
22 mapdpglem3.te . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
23 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
24 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
25 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
26 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
27 mapdpglem3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
28 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
29 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
30 mapdpglem.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
31 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
35 mapdpglem4.xn . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
36 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
37 mapdpglem12.g0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  =  ( 0g
`  C ) )
384, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 12, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37mapdpglem12 32481 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { X } ) ) )
392, 3, 7, 17, 38lspsnel5a 16072 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
t } )  C_  ( M `  ( N `
 { X }
) ) )
401, 39eqsstrd 3382 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `  { X } ) ) )
4113, 18lmodvsubcl 15989 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
4211, 12, 19, 41syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
4313, 10, 14lspsncl 16053 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
4411, 42, 43syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
454, 9, 10, 8, 6, 44, 16mapdord 32436 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `
 { X }
) )  <->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
C_  ( N `  { X } ) ) )
4640, 45mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    C_ wss 3320   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   -gcsg 14688   LSSumclsm 15268   LModclmod 15950   LSubSpclss 16008   LSpanclspn 16047   HLchlt 30148   LHypclh 30781   DVecHcdvh 31876  LCDualclcd 32384  mapdcmpd 32422
This theorem is referenced by:  mapdpglem14  32483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lshyp 29775  df-lcv 29817  df-lfl 29856  df-lkr 29884  df-ldual 29922  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tgrp 31540  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dveca 31800  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193  df-lcdual 32385  df-mapd 32423
  Copyright terms: Public domain W3C validator