Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem20 Unicode version

Theorem mapdpglem20 31254
Description: Lemma for mapdpg 31269. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem20  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem20
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
2 mapdpglem2.j . 2  |-  J  =  ( LSpan `  C )
3 eqid 2283 . 2  |-  (LSAtoms `  C
)  =  (LSAtoms `  C
)
4 mapdpglem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdpglem.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 mapdpglem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6lcdlvec 31154 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
8 mapdpglem.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
9 mapdpglem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 eqid 2283 . . 3  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
11 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdpglem.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
13 mapdpglem4.q . . . 4  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
144, 9, 6dvhlmod 30673 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
15 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
16 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
17 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  { Q } )  <->  ( Y  e.  V  /\  Y  =/= 
Q ) )
1815, 16, 17sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  { Q }
) )
1911, 12, 13, 10, 14, 18lsatlspsn 28556 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
204, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19mapdat 31230 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (LSAtoms `  C )
)
21 mapdpglem.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
22 mapdpglem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
23 mapdpglem1.p . . 3  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
24 mapdpglem3.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
25 mapdpglem3.te . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
26 mapdpglem3.a . . 3  |-  A  =  (Scalar `  U )
27 mapdpglem3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
28 mapdpglem3.t . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  C )
29 mapdpglem3.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
31 mapdpglem3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32 mapdpglem.ne . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
33 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
34 mapdpglem4.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
35 mapdpglem4.g4 . . 3  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
36 mapdpglem4.z4 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
37 mapdpglem4.t4 . . 3  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
38 mapdpglem4.xn . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
39 mapdpglem17.ep . . 3  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
404, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem19 31253 . 2  |-  ( ph  ->  E  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
414, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem18 31252 . 2  |-  ( ph  ->  E  =/=  ( 0g
`  C ) )
421, 2, 3, 7, 20, 40, 41lsatel 28568 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  { E } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   -gcsg 14365   LSSumclsm 14945   invrcinvr 15453   LSpanclspn 15728  LSAtomsclsa 28537   HLchlt 28913   LHypclh 29546   DVecHcdvh 30641  LCDualclcd 31149  mapdcmpd 31187
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  31257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 28539  df-lshyp 28540  df-lcv 28582  df-lfl 28621  df-lkr 28649  df-ldual 28687  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061  df-lvols 29062  df-lines 29063  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-lhyp 29550  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667  df-trl 29721  df-tgrp 30305  df-tendo 30317  df-edring 30319  df-dveca 30565  df-disoa 30592  df-dvech 30642  df-dib 30702  df-dic 30736  df-dih 30792  df-doch 30911  df-djh 30958  df-lcdual 31150  df-mapd 31188
  Copyright terms: Public domain W3C validator