Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Unicode version

Theorem mapdpglem22 32505
Description: Lemma for mapdpg 32518. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlvec 32403 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
6 mapdpglem.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
72, 6, 4dvhlvec 31921 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (Scalar `  U )
98lvecdrng 15874 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LVec  ->  A  e.  DivRing )
107, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  DivRing )
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
12 mapdpglem.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
15 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
19 mapdpglem2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
22 mapdpglem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
24 mapdpglem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
27 mapdpglem4.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
29 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 32494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
34 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( invr `  A )  =  (
invr `  A )
3522, 29, 34drnginvrcl 15545 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  e.  B
)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  B )
37 eqid 2296 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
38 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 32412 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
4036, 39eleqtrrd 2373 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
4122, 29, 34drnginvrn0 15546 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  =/=  .0.  )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  .0.  )
43 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 32420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  C ) )  =  .0.  )
4542, 44neeqtrrd 2483 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 32486 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 15883 . . 3  |-  ( ( C  e.  LVec  /\  (
( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  /\  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )  /\  t  e.  F
)  ->  ( J `  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) } )  =  ( J `  {
t } ) )
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { t } ) )
49 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
50 mapdpglem17.ep . . . . 5  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 32504 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t )  =  ( G R E ) )
5251sneqd 3666 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) }  =  {
( G R E ) } )
5352fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
541, 48, 533eqtr2d 2334 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   -gcsg 14381   LSSumclsm 14961   invrcinvr 15469   DivRingcdr 15528   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890  LCDualclcd 32398  mapdcmpd 32436
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  32506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207  df-lcdual 32399  df-mapd 32437
  Copyright terms: Public domain W3C validator