Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem22 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem22 32428
Description: Lemma for mapdpg 32441. Baer p. 45, line 9: "(F(x-y))* = ... = G(x'-y')." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem12.yn  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
mapdpglem17.ep  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem22  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    E( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem22
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlvec 32326 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
6 mapdpglem.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
72, 6, 4dvhlvec 31844 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
8 mapdpglem3.a . . . . . . 7  |-  A  =  (Scalar `  U )
98lvecdrng 16169 . . . . . 6  |-  ( U  e.  LVec  ->  A  e.  DivRing )
107, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  DivRing )
11 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
12 mapdpglem.m . . . . . 6  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
15 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
16 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
18 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
19 mapdpglem2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
21 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
22 mapdpglem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
23 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
24 mapdpglem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
25 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
26 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
27 mapdpglem4.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
28 mapdpglem.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
29 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
30 mapdpglem4.z4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem4.t4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
32 mapdpglem4.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
332, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32mapdpglem11 32417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =/=  .0.  )
34 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( invr `  A )  =  (
invr `  A )
3522, 29, 34drnginvrcl 15844 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  e.  B
)
3610, 11, 33, 35syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  B )
37 eqid 2435 . . . . 5  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
38 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
392, 6, 8, 22, 3, 37, 38, 4lcdsbase 32335 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
4036, 39eleqtrrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) )
4122, 29, 34drnginvrn0 15845 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  DivRing  /\  g  e.  B  /\  g  =/=  .0.  )  ->  (
( invr `  A ) `  g )  =/=  .0.  )
4210, 11, 33, 41syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  .0.  )
43 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)
442, 6, 8, 29, 3, 37, 43, 4lcd0 32343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  C ) )  =  .0.  )
4542, 44neeqtrrd 2622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )
462, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21mapdpglem2a 32409 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
4720, 37, 23, 38, 43, 19lspsnvs 16178 . . 3  |-  ( ( C  e.  LVec  /\  (
( ( invr `  A
) `  g )  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) )  /\  ( ( invr `  A
) `  g )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  C ) ) )  /\  t  e.  F
)  ->  ( J `  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) } )  =  ( J `  {
t } ) )
485, 40, 45, 46, 47syl121anc 1189 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { t } ) )
49 mapdpglem12.yn . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =/=  Q )
50 mapdpglem17.ep . . . . 5  |-  E  =  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  z )
512, 12, 6, 13, 14, 15, 3, 4, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 1, 29, 11, 30, 31, 32, 49, 50mapdpglem21 32427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t )  =  ( G R E ) )
5251sneqd 3819 . . 3  |-  ( ph  ->  { ( ( (
invr `  A ) `  g )  .x.  t
) }  =  {
( G R E ) } )
5352fveq2d 5724 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( ( ( invr `  A ) `  g
)  .x.  t ) } )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
541, 48, 533eqtr2d 2473 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R E ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   -gcsg 14680   LSSumclsm 15260   invrcinvr 15768   DivRingcdr 15827   LSpanclspn 16039   LVecclvec 16166   HLchlt 30085   LHypclh 30718   DVecHcdvh 31813  LCDualclcd 32321  mapdcmpd 32359
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  32429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29711  df-lshyp 29712  df-lcv 29754  df-lfl 29793  df-lkr 29821  df-ldual 29859  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839  df-trl 30893  df-tgrp 31477  df-tendo 31489  df-edring 31491  df-dveca 31737  df-disoa 31764  df-dvech 31814  df-dib 31874  df-dic 31908  df-dih 31964  df-doch 32083  df-djh 32130  df-lcdual 32322  df-mapd 32360
  Copyright terms: Public domain W3C validator