Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Unicode version

Theorem mapdpglem3 32487
Description: Lemma for mapdpg 32518. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d  g w z
ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    ph, g,
z
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
2 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  =  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
41, 3eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7lcdlmod 32404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( Base `  C
)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  C )
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 15776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
w  e.  ( J `
 { G }
)  <->  E. g  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) w  =  ( g  .x.  G
) ) )
168, 9, 15syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G ) ) )
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 32412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
2120rexeqdv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2216, 21bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2322anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
24 r19.41v 2706 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2523, 24syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
2625exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
27 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ( J `
 { G }
) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. w
( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2826, 27syl6bbr 254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
29 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
31 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3231lsssssubg 15731 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C ) )
338, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C )
)
3412, 31, 14lspsncl 15750 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
358, 9, 34syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
3633, 35sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (SubGrp `  C ) )
37 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
38 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
395, 17, 7dvhlmod 31922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
4341, 38, 42lspsncl 15750 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4439, 40, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 32468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
4633, 45sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (SubGrp `  C )
)
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 14978 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
4828, 47bitr4d 247 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) ) )
494, 48mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
50 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( g 
.x.  G )  e. 
_V
51 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
w R z )  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5251eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
t  =  ( w R z )  <->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) ) )
5352rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  ( E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) ) )
5450, 53ceqsexv 2836 . . . 4  |-  ( E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5554rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
56 rexcom4 2820 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5755, 56bitr3i 242 . 2  |-  ( E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5849, 57sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   HLchlt 30162   LHypclh 30795   DVecHcdvh 31890  LCDualclcd 32398  mapdcmpd 32436
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  32516
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872  df-lsatoms 29788  df-lshyp 29789  df-lcv 29831  df-lfl 29870  df-lkr 29898  df-ldual 29936  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554  df-tendo 31566  df-edring 31568  df-dveca 31814  df-disoa 31841  df-dvech 31891  df-dib 31951  df-dic 31985  df-dih 32041  df-doch 32160  df-djh 32207  df-lcdual 32399  df-mapd 32437
  Copyright terms: Public domain W3C validator