Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem3 32400
Description: Lemma for mapdpg 32431. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d  g w z
ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    ph, g,
z
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
2 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  =  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
41, 3eleqtrd 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7lcdlmod 32317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( Base `  C
)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  C )
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 16071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
w  e.  ( J `
 { G }
)  <->  E. g  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) w  =  ( g  .x.  G
) ) )
168, 9, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G ) ) )
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 32325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
2120rexeqdv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2216, 21bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
24 r19.41v 2853 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2523, 24syl6rbbr 256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
2625exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
27 df-rex 2703 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ( J `
 { G }
) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. w
( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2826, 27syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
29 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
31 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3231lsssssubg 16026 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C ) )
338, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C )
)
3412, 31, 14lspsncl 16045 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
358, 9, 34syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
3633, 35sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (SubGrp `  C ) )
37 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
38 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
395, 17, 7dvhlmod 31835 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
4341, 38, 42lspsncl 16045 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4439, 40, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 32381 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
4633, 45sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (SubGrp `  C )
)
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 15277 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
4828, 47bitr4d 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) ) )
494, 48mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
50 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( g 
.x.  G )  e. 
_V
51 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
w R z )  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5251eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
t  =  ( w R z )  <->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) ) )
5352rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  ( E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) ) )
5450, 53ceqsexv 2983 . . . 4  |-  ( E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5554rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
56 rexcom4 2967 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5755, 56bitr3i 243 . 2  |-  ( E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5849, 57sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   -gcsg 14680  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260   LModclmod 15942   LSubSpclss 16000   LSpanclspn 16039   HLchlt 30075   LHypclh 30708   DVecHcdvh 31803  LCDualclcd 32311  mapdcmpd 32349
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  32429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29701  df-lshyp 29702  df-lcv 29744  df-lfl 29783  df-lkr 29811  df-ldual 29849  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223  df-lvols 30224  df-lines 30225  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883  df-tgrp 31467  df-tendo 31479  df-edring 31481  df-dveca 31727  df-disoa 31754  df-dvech 31804  df-dib 31864  df-dic 31898  df-dih 31954  df-doch 32073  df-djh 32120  df-lcdual 32312  df-mapd 32350
  Copyright terms: Public domain W3C validator