Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Unicode version

Theorem mapdpglem3 31791
Description: Lemma for mapdpg 31822. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d  g w z
ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    ph, g,
z
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
2 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32oveq1d 6036 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  =  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
41, 3eleqtrd 2464 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7lcdlmod 31708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( Base `  C
)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  C )
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 16007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
w  e.  ( J `
 { G }
)  <->  E. g  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) w  =  ( g  .x.  G
) ) )
168, 9, 15syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G ) ) )
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 31716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
2120rexeqdv 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2216, 21bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2322anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
24 r19.41v 2805 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2523, 24syl6rbbr 256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
2625exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
27 df-rex 2656 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ( J `
 { G }
) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. w
( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2826, 27syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
29 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
31 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3231lsssssubg 15962 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C ) )
338, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C )
)
3412, 31, 14lspsncl 15981 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
358, 9, 34syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
3633, 35sseldd 3293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (SubGrp `  C ) )
37 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
38 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
395, 17, 7dvhlmod 31226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
4341, 38, 42lspsncl 15981 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4439, 40, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 31772 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
4633, 45sseldd 3293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (SubGrp `  C )
)
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 15213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
4828, 47bitr4d 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) ) )
494, 48mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
50 ovex 6046 . . . . 5  |-  ( g 
.x.  G )  e. 
_V
51 oveq1 6028 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
w R z )  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5251eqeq2d 2399 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
t  =  ( w R z )  <->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) ) )
5352rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  ( E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) ) )
5450, 53ceqsexv 2935 . . . 4  |-  ( E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5554rexbii 2675 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
56 rexcom4 2919 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5755, 56bitr3i 243 . 2  |-  ( E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5849, 57sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   -gcsg 14616  SubGrpcsubg 14866   LSSumclsm 15196   LModclmod 15878   LSubSpclss 15936   LSpanclspn 15975   HLchlt 29466   LHypclh 30099   DVecHcdvh 31194  LCDualclcd 31702  mapdcmpd 31740
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  31820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-undef 6480  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-0g 13655  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-p1 14397  df-lat 14403  df-clat 14465  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-oppg 15070  df-lsm 15198  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-drng 15765  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-lvec 16103  df-lsatoms 29092  df-lshyp 29093  df-lcv 29135  df-lfl 29174  df-lkr 29202  df-ldual 29240  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615  df-lines 29616  df-psubsp 29618  df-pmap 29619  df-padd 29911  df-lhyp 30103  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220  df-trl 30274  df-tgrp 30858  df-tendo 30870  df-edring 30872  df-dveca 31118  df-disoa 31145  df-dvech 31195  df-dib 31255  df-dic 31289  df-dih 31345  df-doch 31464  df-djh 31511  df-lcdual 31703  df-mapd 31741
  Copyright terms: Public domain W3C validator