Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem30 32427
 Description: Lemma for mapdpg 32431. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 32426, using lvecindp2 16203) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 32428? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h
mapdpg.m mapd
mapdpg.u
mapdpg.v
mapdpg.s
mapdpg.z
mapdpg.n
mapdpg.c LCDual
mapdpg.f
mapdpg.r
mapdpg.j
mapdpg.k
mapdpg.x
mapdpg.y
mapdpg.g
mapdpg.ne
mapdpg.e
mapdpgem25.h1
mapdpgem25.i1
mapdpglem26.a Scalar
mapdpglem26.b
mapdpglem26.t
mapdpglem26.o
mapdpglem28.ve
mapdpglem28.u1
mapdpglem28.u2
mapdpglem28.ue
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   , ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,)   (,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3
2 eqid 2435 . . 3
3 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
4 eqid 2435 . . 3 Scalar Scalar
5 mapdpglem26.t . . 3
6 eqid 2435 . . 3
7 mapdpg.j . . 3
8 mapdpg.h . . . 4
9 mapdpg.c . . . 4 LCDual
10 mapdpg.k . . . 4
118, 9, 10lcdlvec 32316 . . 3
12 mapdpg.g . . . 4
13 mapdpg.m . . . . 5 mapd
14 mapdpg.u . . . . 5
15 mapdpg.v . . . . 5
16 mapdpg.s . . . . 5
17 mapdpg.z . . . . 5
18 mapdpg.n . . . . 5
19 mapdpg.r . . . . 5
20 mapdpg.x . . . . 5
21 mapdpg.y . . . . 5
22 mapdpg.ne . . . . 5
23 mapdpg.e . . . . 5
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 32420 . . . 4
25 eldifsn 3919 . . . 4
2612, 24, 25sylanbrc 646 . . 3
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5
2827simpld 446 . . . 4
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 32421 . . . 4
31 eldifsn 3919 . . . 4
3228, 30, 31sylanbrc 646 . . 3
33 mapdpglem28.ve . . . 4
34 mapdpglem26.a . . . . 5 Scalar
35 mapdpglem26.b . . . . 5
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 32325 . . . 4 Scalar
3733, 36eleqtrrd 2512 . . 3 Scalar
388, 14, 10dvhlmod 31835 . . . . . 6
3934lmodrng 15950 . . . . . 6
4038, 39syl 16 . . . . 5
41 rnggrp 15661 . . . . . . 7
4240, 41syl 16 . . . . . 6
43 eqid 2435 . . . . . . . 8
4435, 43rngidcl 15676 . . . . . . 7
4540, 44syl 16 . . . . . 6
46 eqid 2435 . . . . . . 7
4735, 46grpinvcl 14842 . . . . . 6
4842, 45, 47syl2anc 643 . . . . 5
49 eqid 2435 . . . . . 6
5035, 49rngcl 15669 . . . . 5
5140, 33, 48, 50syl3anc 1184 . . . 4
5251, 36eleqtrrd 2512 . . 3 Scalar
5345, 36eleqtrrd 2512 . . 3 Scalar
54 mapdpglem28.ue . . . . 5
5535, 49rngcl 15669 . . . . 5
5640, 54, 48, 55syl3anc 1184 . . . 4
5756, 36eleqtrrd 2512 . . 3 Scalar
58 mapdpglem26.o . . . 4
59 mapdpglem28.u1 . . . 4
60 mapdpglem28.u2 . . . 4
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 32425 . . 3
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 32332 . . . . 5
6362oveq2d 6089 . . . 4
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 32330 . . . . 5
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 32330 . . . . 5
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 32342 . . . 4
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 32332 . . . . . 6
6867oveq2d 6089 . . . . 5
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 32330 . . . . . 6
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 32330 . . . . . 6
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 32342 . . . . 5
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 32426 . . . . . 6
73 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 32334 . . . . . . . . 9 Scalar
7574oveq1d 6088 . . . . . . . 8 Scalar
768, 9, 10lcdlmod 32317 . . . . . . . . 9
771, 3, 5, 73lmodvs1 15970 . . . . . . . . 9 Scalar
7876, 12, 77syl2anc 643 . . . . . . . 8 Scalar
7975, 78eqtr3d 2469 . . . . . . 7
8079oveq1d 6088 . . . . . 6
8172, 80eqtr4d 2470 . . . . 5
8268, 71, 813eqtr2rd 2474 . . . 4
8363, 66, 823eqtr2rd 2474 . . 3
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 16203 . 2
8535, 49, 43, 46, 40, 33rngnegr 15696 . . . . 5
8635, 49, 43, 46, 40, 54rngnegr 15696 . . . . 5
8785, 86eqeq12d 2449 . . . 4
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 14852 . . . 4
8987, 88bitrd 245 . . 3
9089anbi2d 685 . 2
9184, 90mpbid 202 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   cdif 3309  csn 3806  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715  cgrp 14677  cminusg 14678  csg 14680  crg 15652  cur 15654  clmod 15942  clspn 16039  chlt 30075  clh 30708  cdvh 31803  LCDualclcd 32311  mapdcmpd 32349 This theorem is referenced by:  mapdpglem31  32428 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-lvec 16167  df-lsatoms 29701  df-lshyp 29702  df-lcv 29744  df-lfl 29783  df-lkr 29811  df-ldual 29849  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223  df-lvols 30224  df-lines 30225  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883  df-tgrp 31467  df-tendo 31479  df-edring 31481  df-dveca 31727  df-disoa 31754  df-dvech 31804  df-dib 31864  df-dic 31898  df-dih 31954  df-doch 32073  df-djh 32120  df-lcdual 32312  df-mapd 32350
 Copyright terms: Public domain W3C validator