Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem5N Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem5N 32537
Description: Lemma for mapdpg 32566. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem5N  |-  ( ph  ->  t  =/=  ( 0g
`  C ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( t)    B( t)    .(+) ( t)    Q( t)    R( t)    .x. ( t)    U( t)    F( t)    G( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem5N
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
6 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 eqid 2438 . . . 4  |-  (LSAtoms `  C
)  =  (LSAtoms `  C
)
8 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
10 mapdpglem.s . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  U )
11 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
12 mapdpglem.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
13 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 mapdpglem1.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
15 mapdpglem2.j . . . . . 6  |-  J  =  ( LSpan `  C )
16 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
17 mapdpglem3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
18 mapdpglem3.a . . . . . 6  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
20 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
21 mapdpglem3.r . . . . . 6  |-  R  =  ( -g `  C
)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
23 mapdpglem3.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
24 mapdpglem4.q . . . . . 6  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
25 mapdpglem.ne . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
262, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdpglem4N 32536 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =/=  Q )
272, 4, 8dvhlmod 31970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
289, 10lmodvsubcl 15991 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
2927, 12, 13, 28syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
309, 11, 24, 5, 27, 29lsatspn0 29860 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  e.  (LSAtoms `  U
)  <->  ( X  .-  Y )  =/=  Q
) )
3126, 30mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  e.  (LSAtoms `  U )
)
322, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 31mapdat 32527 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  e.  (LSAtoms `  C ) )
331, 32eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
t } )  e.  (LSAtoms `  C )
)
34 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
352, 6, 8lcdlmod 32452 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
362, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem2a 32534 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
3716, 15, 34, 7, 35, 36lsatspn0 29860 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J `  { t } )  e.  (LSAtoms `  C
)  <->  t  =/=  ( 0g `  C ) ) )
3833, 37mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  t  =/=  ( 0g
`  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725   -gcsg 14690   LSSumclsm 15270   LModclmod 15952   LSpanclspn 16049  LSAtomsclsa 29834   HLchlt 30210   LHypclh 30843   DVecHcdvh 31938  LCDualclcd 32446  mapdcmpd 32484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lshyp 29837  df-lcv 29879  df-lfl 29918  df-lkr 29946  df-ldual 29984  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tgrp 31602  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-dveca 31862  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089  df-doch 32208  df-djh 32255  df-lcdual 32447  df-mapd 32485
  Copyright terms: Public domain W3C validator