Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem8 Unicode version

Theorem mapdpglem8 31940
Description: Lemma for mapdpg 31967. Baer p. 45, line 4: "...so that (F(x-y))* =< (Fy)*. This would imply that F(x-y) =< F(y)..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem4.g0  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem8  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem8
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 eqid 2366 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
4 mapdpglem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 mapdpglem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6lcdlmod 31853 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
8 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
9 mapdpglem.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
114, 9, 6dvhlmod 31371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 mapdpglem.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1513, 10, 14lspsncl 15944 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1611, 12, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
174, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16mapdcl2 31917 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
18 mapdpglem.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
20 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
21 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
22 mapdpglem3.te . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
23 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
24 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
25 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
26 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
27 mapdpglem3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
28 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
29 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
30 mapdpglem.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
31 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
35 mapdpglem4.xn . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
374, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 19, 12, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem6 31939 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
382, 3, 7, 17, 37lspsnel5a 15963 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
t } )  C_  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )
391, 38eqsstrd 3298 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
4013, 18lmodvsubcl 15880 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
4111, 19, 12, 40syl3anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
4213, 10, 14lspsncl 15944 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
4311, 41, 42syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
444, 9, 10, 8, 6, 43, 16mapdord 31899 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `
 { Y }
) )  <->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
4539, 44mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    C_ wss 3238   {csn 3729   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   0gc0g 13610   -gcsg 14575   LSSumclsm 15155   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899   LSpanclspn 15938   HLchlt 29611   LHypclh 30244   DVecHcdvh 31339  LCDualclcd 31847  mapdcmpd 31885
This theorem is referenced by:  mapdpglem9  31941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-oppg 15029  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29237  df-lshyp 29238  df-lcv 29280  df-lfl 29319  df-lkr 29347  df-ldual 29385  df-oposet 29437  df-ol 29439  df-oml 29440  df-covers 29527  df-ats 29528  df-atl 29559  df-cvlat 29583  df-hlat 29612  df-llines 29758  df-lplanes 29759  df-lvols 29760  df-lines 29761  df-psubsp 29763  df-pmap 29764  df-padd 30056  df-lhyp 30248  df-laut 30249  df-ldil 30364  df-ltrn 30365  df-trl 30419  df-tgrp 31003  df-tendo 31015  df-edring 31017  df-dveca 31263  df-disoa 31290  df-dvech 31340  df-dib 31400  df-dic 31434  df-dih 31490  df-doch 31609  df-djh 31656  df-lcdual 31848  df-mapd 31886
  Copyright terms: Public domain W3C validator