Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem8 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem8 32551
Description: Lemma for mapdpg 32578. Baer p. 45, line 4: "...so that (F(x-y))* =< (Fy)*. This would imply that F(x-y) =< F(y)..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem4.g0  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem8  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem8
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3 mapdpglem2.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
4 mapdpglem.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
6 mapdpglem.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
74, 5, 6lcdlmod 32464 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
8 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
9 mapdpglem.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
10 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
114, 9, 6dvhlmod 31982 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
12 mapdpglem.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 mapdpglem.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  U
)
14 mapdpglem.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1513, 10, 14lspsncl 16058 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1611, 12, 15syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
174, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16mapdcl2 32528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
18 mapdpglem.s . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  U )
19 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
20 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
21 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
22 mapdpglem3.te . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
23 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
24 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
25 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
26 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
27 mapdpglem3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
28 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
29 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
30 mapdpglem.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
31 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
35 mapdpglem4.xn . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
374, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 19, 12, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem6 32550 . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
382, 3, 7, 17, 37lspsnel5a 16077 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J `  {
t } )  C_  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )
391, 38eqsstrd 3384 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
4013, 18lmodvsubcl 15994 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
4111, 19, 12, 40syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
4213, 10, 14lspsncl 16058 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  e.  ( LSubSp `  U ) )
4311, 41, 42syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  e.  ( LSubSp `  U )
)
444, 9, 10, 8, 6, 43, 16mapdord 32510 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  C_  ( M `  ( N `
 { Y }
) )  <->  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
4539, 44mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728   -gcsg 14693   LSSumclsm 15273   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950  LCDualclcd 32458  mapdcmpd 32496
This theorem is referenced by:  mapdpglem9  32552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lcv 29891  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-ldual 29996  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267  df-lcdual 32459  df-mapd 32497
  Copyright terms: Public domain W3C validator