Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsn Unicode version

Theorem mapdsn 31807
Description: Value of the map defined by df-mapd 31791 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdsn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdsn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdsn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdsn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdsn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdsn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdsn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdsn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdsn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdsn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Distinct variable groups:    f, F    f, K    f, N    f, W    f, X    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    H( f)    L( f)    M( f)    O( f)    V( f)

Proof of Theorem mapdsn
StepHypRef Expression
1 mapdsn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdsn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2380 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4 mapdsn.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdsn.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdsn.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdsn.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdsn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 8dvhlmod 31276 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdsn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdsn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdsn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 3, 12lspsncl 15973 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14mapdval 31794 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) } )
168ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1710snssd 3879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1811, 12lspssv 15979 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
199, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  V
)
2019ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
21 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )
221, 2, 11, 6dochss 31531 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { X } )  C_  V  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
241, 2, 6, 11, 12, 8, 17dochocsp 31545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
2524ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
26 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) )
2723, 25, 263sstr3d 3326 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) )
288ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  f  e.  F )
3010ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  X  e.  V )
31 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  { X } ) 
C_  ( L `  f ) )
321, 6, 2, 11, 4, 5, 28, 29, 30, 31lcfl9a 31671 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) )
339ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  U  e.  LMod )
3411, 4, 5, 33, 29lkrssv 29262 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( L `  f )  C_  V
)
351, 2, 11, 6dochss 31531 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  f )  C_  V  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
3628, 34, 31, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
371, 2, 6, 11, 12, 8, 10dochocsn 31547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3837ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3936, 38sseqtrd 3320 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) )
4032, 39jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) ) )
4127, 40impbida 806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  F )  ->  (
( ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f )  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  ( N `  { X } ) )  <-> 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
) )
4241rabbidva 2883 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) }  =  {
f  e.  F  | 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
4315, 42eqtrd 2412 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646    C_ wss 3256   {csn 3750   ` cfv 5387   Basecbs 13389   LModclmod 15870   LSubSpclss 15928   LSpanclspn 15967  LFnlclfn 29223  LKerclk 29251   HLchlt 29516   LHypclh 30149   DVecHcdvh 31244   ocHcoch 31513  mapdcmpd 31790
This theorem is referenced by:  mapdsn2  31808  hdmaplkr  32082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-lsatoms 29142  df-lshyp 29143  df-lfl 29224  df-lkr 29252  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tgrp 30908  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-dveca 31168  df-disoa 31195  df-dvech 31245  df-dib 31305  df-dic 31339  df-dih 31395  df-doch 31514  df-djh 31561  df-mapd 31791
  Copyright terms: Public domain W3C validator