Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsn Structured version   Unicode version

Theorem mapdsn 32340
Description: Value of the map defined by df-mapd 32324 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdsn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdsn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdsn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdsn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdsn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdsn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdsn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdsn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdsn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdsn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Distinct variable groups:    f, F    f, K    f, N    f, W    f, X    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    H( f)    L( f)    M( f)    O( f)    V( f)

Proof of Theorem mapdsn
StepHypRef Expression
1 mapdsn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdsn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4 mapdsn.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdsn.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdsn.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdsn.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdsn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 8dvhlmod 31809 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdsn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdsn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdsn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 3, 12lspsncl 16043 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14mapdval 32327 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) } )
168ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1710snssd 3935 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1811, 12lspssv 16049 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
199, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  V
)
2019ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
21 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )
221, 2, 11, 6dochss 32064 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { X } )  C_  V  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
241, 2, 6, 11, 12, 8, 17dochocsp 32078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
2524ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
26 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) )
2723, 25, 263sstr3d 3382 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) )
288ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  f  e.  F )
3010ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  X  e.  V )
31 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  { X } ) 
C_  ( L `  f ) )
321, 6, 2, 11, 4, 5, 28, 29, 30, 31lcfl9a 32204 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) )
339ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  U  e.  LMod )
3411, 4, 5, 33, 29lkrssv 29795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( L `  f )  C_  V
)
351, 2, 11, 6dochss 32064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  f )  C_  V  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
3628, 34, 31, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
371, 2, 6, 11, 12, 8, 10dochocsn 32080 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3837ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3936, 38sseqtrd 3376 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) )
4032, 39jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) ) )
4127, 40impbida 806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  F )  ->  (
( ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f )  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  ( N `  { X } ) )  <-> 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
) )
4241rabbidva 2939 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) }  =  {
f  e.  F  | 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
4315, 42eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446   Basecbs 13459   LModclmod 15940   LSubSpclss 15998   LSpanclspn 16037  LFnlclfn 29756  LKerclk 29784   HLchlt 30049   LHypclh 30682   DVecHcdvh 31777   ocHcoch 32046  mapdcmpd 32323
This theorem is referenced by:  mapdsn2  32341  hdmaplkr  32615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-undef 6535  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-0g 13717  df-poset 14393  df-plt 14405  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p0 14458  df-p1 14459  df-lat 14465  df-clat 14527  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-cntz 15106  df-lsm 15260  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-drng 15827  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-lvec 16165  df-lsatoms 29675  df-lshyp 29676  df-lfl 29757  df-lkr 29785  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-covers 29965  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-llines 30196  df-lplanes 30197  df-lvols 30198  df-lines 30199  df-psubsp 30201  df-pmap 30202  df-padd 30494  df-lhyp 30686  df-laut 30687  df-ldil 30802  df-ltrn 30803  df-trl 30857  df-tgrp 31441  df-tendo 31453  df-edring 31455  df-dveca 31701  df-disoa 31728  df-dvech 31778  df-dib 31838  df-dic 31872  df-dih 31928  df-doch 32047  df-djh 32094  df-mapd 32324
  Copyright terms: Public domain W3C validator