Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsn3 Unicode version

Theorem mapdsn3 31885
Description: Value of the map defined by df-mapd 31867 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdsn3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdsn3.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdsn3.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdsn3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdsn3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdsn3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdsn3.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdsn3.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdsn3.d  |-  D  =  (LDual `  U )
mapdsn3.p  |-  P  =  ( LSpan `  D )
mapdsn3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdsn3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdsn3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdsn3.e  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  ( O `
 { X }
) )
Assertion
Ref Expression
mapdsn3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( P `  { G } ) )

Proof of Theorem mapdsn3
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdsn3.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdsn3.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdsn3.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdsn3.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdsn3.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 mapdsn3.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 mapdsn3.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
8 mapdsn3.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
9 mapdsn3.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 mapdsn3.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdsn3.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  =  ( O `
 { X }
) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdsn2 31884 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( L `  G )  C_  ( L `  f ) } )
13 mapdsn3.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
14 mapdsn3.p . . 3  |-  P  =  ( LSpan `  D )
151, 4, 9dvhlvec 31351 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
16 mapdsn3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
177, 8, 13, 14, 15, 16ldual1dim 29408 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  { G } )  =  {
f  e.  F  | 
( L `  G
)  C_  ( L `  f ) } )
1812, 17eqtr4d 2393 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( P `  { G } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623    C_ wss 3228   {csn 3716   ` cfv 5334   Basecbs 13239   LSpanclspn 15821  LFnlclfn 29299  LKerclk 29327  LDualcld 29365   HLchlt 29592   LHypclh 30225   DVecHcdvh 31320   ocHcoch 31589  mapdcmpd 31866
This theorem is referenced by:  mapdhvmap  32011
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-undef 6382  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-0g 13497  df-poset 14173  df-plt 14185  df-lub 14201  df-glb 14202  df-join 14203  df-meet 14204  df-p0 14238  df-p1 14239  df-lat 14245  df-clat 14307  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-lsm 15040  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-dvr 15558  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949  df-lsatoms 29218  df-lshyp 29219  df-lfl 29300  df-lkr 29328  df-ldual 29366  df-oposet 29418  df-ol 29420  df-oml 29421  df-covers 29508  df-ats 29509  df-atl 29540  df-cvlat 29564  df-hlat 29593  df-llines 29739  df-lplanes 29740  df-lvols 29741  df-lines 29742  df-psubsp 29744  df-pmap 29745  df-padd 30037  df-lhyp 30229  df-laut 30230  df-ldil 30345  df-ltrn 30346  df-trl 30400  df-tgrp 30984  df-tendo 30996  df-edring 30998  df-dveca 31244  df-disoa 31271  df-dvech 31321  df-dib 31381  df-dic 31415  df-dih 31471  df-doch 31590  df-djh 31637  df-mapd 31867
  Copyright terms: Public domain W3C validator