Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsord Structured version   Unicode version

Theorem mapdsord 32454
Description: Strong ordering property of themap defined by df-mapd 32424. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdcnvcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdcnvcl.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdcnvcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdcnvcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
mapdcnvcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdcl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
mapdsord.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
Assertion
Ref Expression
mapdsord  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )

Proof of Theorem mapdsord
StepHypRef Expression
1 mapdcnvcl.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdcnvcl.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdcnvcl.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
4 mapdcnvcl.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
5 mapdcnvcl.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 mapdcl.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
7 mapdsord.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapdord 32437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y )  <->  X 
C_  Y ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapd11 32438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  =  ( M `  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
109necon3bid 2637 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  =/=  ( M `  Y )  <->  X  =/=  Y ) )
118, 10anbi12d 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( M `
 X )  C_  ( M `  Y )  /\  ( M `  X )  =/=  ( M `  Y )
)  <->  ( X  C_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
12 df-pss 3337 . 2  |-  ( ( M `  X ) 
C.  ( M `  Y )  <->  ( ( M `  X )  C_  ( M `  Y
)  /\  ( M `  X )  =/=  ( M `  Y )
) )
13 df-pss 3337 . 2  |-  ( X 
C.  Y  <->  ( X  C_  Y  /\  X  =/= 
Y ) )
1411, 12, 133bitr4g 281 1  |-  ( ph  ->  ( ( M `  X )  C.  ( M `  Y )  <->  X 
C.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    C_ wss 3321    C. wpss 3322   ` cfv 5455   LSubSpclss 16009   HLchlt 30149   LHypclh 30782   DVecHcdvh 31877  mapdcmpd 32423
This theorem is referenced by:  mapdcv  32459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-undef 6544  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-poset 14404  df-plt 14416  df-lub 14432  df-glb 14433  df-join 14434  df-meet 14435  df-p0 14469  df-p1 14470  df-lat 14476  df-clat 14538  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-dvr 15789  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176  df-lsatoms 29775  df-lshyp 29776  df-lfl 29857  df-lkr 29885  df-oposet 29975  df-ol 29977  df-oml 29978  df-covers 30065  df-ats 30066  df-atl 30097  df-cvlat 30121  df-hlat 30150  df-llines 30296  df-lplanes 30297  df-lvols 30298  df-lines 30299  df-psubsp 30301  df-pmap 30302  df-padd 30594  df-lhyp 30786  df-laut 30787  df-ldil 30902  df-ltrn 30903  df-trl 30957  df-tgrp 31541  df-tendo 31553  df-edring 31555  df-dveca 31801  df-disoa 31828  df-dvech 31878  df-dib 31938  df-dic 31972  df-dih 32028  df-doch 32147  df-djh 32194  df-mapd 32424
  Copyright terms: Public domain W3C validator