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Theorem mapen 7025
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem mapen
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6871 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 bren 6871 . 2  |-  ( C 
~~  D  <->  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1854 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g  g : C -1-1-onto-> D ) )
4 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  C )  e. 
_V
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  e. 
_V )
6 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  D )  e. 
_V
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( B  ^m  D )  e. 
_V )
8 elmapi 6792 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  ^m  C )  ->  x : C --> A )
9 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A --> B )
11 fco 5398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x : C --> A )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
1210, 11sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
f  o.  x ) : C --> B )
13 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
1413adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
15 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' g : D -1-1-onto-> C  ->  `' g : D --> C )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D --> C )
1716adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  `' g : D --> C )
18 fco 5398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o.  x
) : C --> B  /\  `' g : D --> C )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
1912, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
2019ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x : C --> A  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
218, 20syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
22 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A -onto-> B )
24 forn 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  f  =  B )
26 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726rnex 4942 . . . . . . . 8  |-  ran  f  e.  _V
2825, 27syl6eqelr 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  B  e.  _V )
29 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C -onto-> D )
3029adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C -onto-> D )
31 forn 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -onto-> D  ->  ran  g  =  D
)
3230, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  g  =  D )
33 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
3433rnex 4942 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
3532, 34syl6eqelr 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
36 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D
)  <->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3728, 35, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3821, 37sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D ) ) )
39 elmapi 6792 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  ^m  D )  ->  y : D --> B )
40 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
42 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  `' f : B --> A )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B --> A )
4443adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  `' f : B --> A )
45 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y : D --> B )
46 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C
--> D )
4746adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C --> D )
48 fco 5398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
4945, 47, 48syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  (
y  o.  g ) : C --> B )
50 fco 5398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f : B --> A  /\  ( y  o.  g ) : C --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5144, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5251ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y : D --> B  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
5339, 52syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
54 f1odm 5476 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
5554adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  f  =  A )
5626dmex 4941 . . . . . . . 8  |-  dom  f  e.  _V
5755, 56syl6eqelr 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  A  e.  _V )
58 f1odm 5476 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  dom  g  =  C )
5958adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  g  =  C )
6033dmex 4941 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
6159, 60syl6eqelr 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  C  e.  _V )
62 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  e.  ( A  ^m  C
)  <->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A ) )
6357, 61, 62syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C )  <-> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
6453, 63sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C ) ) )
65 coass 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )
66 f1ococnv2 5500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6867coeq1d 4845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) ) )
6949adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
70 fcoi2 5416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g ) )
7268, 71eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7365, 72syl5eqr 2329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )  =  ( y  o.  g
) )
7473eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
75 coass 5191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g )  =  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )
76 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7776ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7877coeq2d 4846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
7912adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
80 fcoi1 5415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o.  x ) : C --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8278, 81eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( f  o.  x
) )
8375, 82syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  =  ( f  o.  x
) )
8483eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x ) ) )
85 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) )
8684, 85syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
8774, 86bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) ) )
88 f1of1 5471 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
8988ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  f : A -1-1-> B )
90 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  x : C --> A )
9151adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A )
92 cocan1 5801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x : C --> A  /\  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9389, 90, 91, 92syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9430adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  g : C -onto-> D )
95 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y  Fn  D )
9695ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  y  Fn  D
)
9719adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B )
98 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)
9997, 98syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D )
100 cocan2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : C -onto-> D  /\  y  Fn  D  /\  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)  ->  ( (
y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10194, 96, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10287, 93, 1013bitr3d 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
103102ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x : C --> A  /\  y : D --> B )  ->  (
x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <-> 
y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1048, 39, 103syl2ani 637 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x  e.  ( A  ^m  C )  /\  y  e.  ( B  ^m  D ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1055, 7, 38, 64, 104en3d 6898 . . . 4  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
106105exlimivv 1667 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1073, 106sylbir 204 . 2  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1081, 2, 107syl2anb 465 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860
This theorem is referenced by:  mapdom1  7026  mapdom2  7032  pwen  7034  mappwen  7739  mapcdaen  7810  cfpwsdom  8206  rpnnen  12505  rexpen  12506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-en 6864
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