MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfi Unicode version

Theorem mapfi 7152
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem mapfi
StepHypRef Expression
1 xpfi 7128 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  X.  A
)  e.  Fin )
21ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  X.  A
)  e.  Fin )
3 pwfi 7151 . . 3  |-  ( ( B  X.  A )  e.  Fin  <->  ~P ( B  X.  A )  e. 
Fin )
42, 3sylib 188 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ~P ( B  X.  A )  e.  Fin )
5 mapsspw 6803 . 2  |-  ( A  ^m  B )  C_  ~P ( B  X.  A
)
6 ssfi 7083 . 2  |-  ( ( ~P ( B  X.  A )  e.  Fin  /\  ( A  ^m  B
)  C_  ~P ( B  X.  A ) )  ->  ( A  ^m  B )  e.  Fin )
74, 5, 6sylancl 643 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  ixpfi  7153  hashmap  11387  hashpw  11388  hashf1lem2  11394  prmreclem2  12964  vdwlem10  13037  aannenlem1  19708  birthdaylem1  20246  dchrfi  20494  deranglem  23697  mapfiOLD  26401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator