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Theorem mapfien 7655
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
mapfien.t  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  ( `' x " ( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin }
mapfien.w  |-  W  =  ( G `  Z
)
mapfien.f  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
mapfien.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
mapfien.c  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
mapfien.d  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
mapfien.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mapfien  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, f, F    f, G, x    ph, f    x, D    S, f    T, f    x, W   
x, Z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( f)    B( f)    C( f)    D( f)    S( x)    T( x)    W( f)    Z( f)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 5676 . . . . . . 7  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  G : B
--> D )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : B --> D )
54adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B --> D )
6 cnveq 5048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
76imaeq1d 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) ) )
87eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
( `' x "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' f "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin ) )
9 mapfien.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
108, 9elrab2 3096 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin ) )
1110simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  S  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
1211adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
13 elmapi 7040 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f : A --> B )
15 mapfien.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
16 f1of 5676 . . . . . . . 8  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C --> A )
19 fco 5602 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  F : C --> A )  ->  ( f  o.  F ) : C --> B )
2014, 18, 19syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
f  o.  F ) : C --> B )
21 fco 5602 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> D  /\  ( f  o.  F
) : C --> B )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D )
225, 20, 21syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) : C --> D )
23 mapfien.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
24 mapfien.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
25 elmapg 7033 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2623, 24, 25syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2726adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( G  o.  (
f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C )  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D ) )
2822, 27mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
) )
29 cnvco 5058 . . . . . . 7  |-  `' ( G  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G )
3029imaeq1i 5202 . . . . . 6  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G ) " ( _V  \  { W }
) )
31 imaco 5377 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G ) " ( _V  \  { W }
) )  =  ( `' ( f  o.  F ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )
3230, 31eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' ( f  o.  F ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )
33 cnvco 5058 . . . . . 6  |-  `' ( f  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' f )
3433imaeq1i 5202 . . . . 5  |-  ( `' ( f  o.  F
) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  =  ( ( `' F  o.  `' f ) "
( `' G "
( _V  \  { W } ) ) )
35 imaco 5377 . . . . 5  |-  ( ( `' F  o.  `' f ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  =  ( `' F "
( `' f "
( `' G "
( _V  \  { W } ) ) ) )
3632, 34, 353eqtri 2462 . . . 4  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )
3715adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
38 dff1o3 5682 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  ( F : C -onto-> A  /\  Fun  `' F ) )
3938simprbi 452 . . . . . 6  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  Fun  `' F
)
4037, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Fun  `' F )
4110simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  S  ->  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
4241adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
432adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
44 f1ofun 5678 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  Fun  G )
45 funcnvcnv 5511 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  `' `' G )
46 imadif 5530 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' G  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) ) )
4743, 44, 45, 464syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) ) )
48 ssv 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G " _V )  C_ 
_V
49 ssdif 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' G " _V )  C_ 
_V  ->  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  ( `' G " { W } ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  ( `' G " { W } ) )
51 mapfien.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5251adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Z  e.  B )
53 mapfien.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  W  =  ( G `  Z
)
5453eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 Z )  =  W
55 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 Z )  e. 
_V
5655elsnc 3839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  Z )  e.  { W }  <->  ( G `  Z )  =  W )
5754, 56mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 Z )  e. 
{ W }
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G `  Z )  e.  { W } )
59 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> D  ->  G  Fn  B )
60 elpreima 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  B  ->  ( Z  e.  ( `' G " { W }
)  <->  ( Z  e.  B  /\  ( G `
 Z )  e. 
{ W } ) ) )
615, 59, 603syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( Z  e.  ( `' G " { W }
)  <->  ( Z  e.  B  /\  ( G `
 Z )  e. 
{ W } ) ) )
6252, 58, 61mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Z  e.  ( `' G " { W } ) )
6362snssd 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  { Z }  C_  ( `' G " { W } ) )
6463sscond 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( _V  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  { Z } ) )
6550, 64syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  { Z } ) )
6647, 65eqsstrd 3384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  C_  ( _V  \  { Z }
) )
67 imass2 5242 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  C_  ( _V  \  { Z }
)  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  { Z } ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) ) )
69 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) )  e.  Fin )
7042, 68, 69syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  e. 
Fin )
71 imafi 7401 . . . . 5  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )  e.  Fin )
7240, 70, 71syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )  e.  Fin )
7336, 72syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F
) ) " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin )
74 cnveq 5048 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  `' x  =  `' ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )
7574imaeq1d 5204 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F
) ) " ( _V  \  { W }
) ) )
7675eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  (
( `' x "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F ) ) "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin ) )
77 mapfien.t . . . 4  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  ( `' x " ( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin }
7876, 77elrab2 3096 . . 3  |-  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T  <->  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  e.  Fin ) )
7928, 73, 78sylanbrc 647 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T )
80 f1ocnv 5689 . . . . . . . 8  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
81 f1of 5676 . . . . . . . 8  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D --> B )
822, 80, 813syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' G : D --> B )
8382adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' G : D --> B )
84 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
85 cnveq 5048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  g  ->  `' x  =  `' g
)
8685imaeq1d 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  g  ->  ( `' x " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' g " ( _V  \  { W }
) ) )
8786eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  g  ->  (
( `' x "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' g "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin ) )
8887, 77elrab2 3096 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( `' g " ( _V  \  { W } ) )  e.  Fin ) )
8984, 88sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
g  e.  ( D  ^m  C )  /\  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin ) )
9089simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  ( D  ^m  C
) )
91 elmapi 7040 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( D  ^m  C )  ->  g : C --> D )
9290, 91syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g : C --> D )
93 fco 5602 . . . . . 6  |-  ( ( `' G : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( `' G  o.  g ) : C --> B )
9483, 92, 93syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' G  o.  g
) : C --> B )
95 f1ocnv 5689 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
96 f1of 5676 . . . . . . 7  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  `' F : A --> C )
9715, 95, 963syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F : A --> C )
9897adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' F : A --> C )
99 fco 5602 . . . . 5  |-  ( ( ( `' G  o.  g ) : C --> B  /\  `' F : A
--> C )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
10094, 98, 99syl2anc 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
101 mapfien.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
102 mapfien.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
103 elmapg 7033 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <->  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) : A --> B ) )
104101, 102, 103syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <->  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) : A --> B ) )
105104adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B ) )
106100, 105mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A ) )
107 f1ofun 5678 . . . . . 6  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  Fun  F )
10815, 107syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  F )
109108adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Fun  F )
110 cnvco 5058 . . . . . . 7  |-  `' ( `' G  o.  g
)  =  ( `' g  o.  `' `' G )
111110imaeq1i 5202 . . . . . 6  |-  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( ( `' g  o.  `' `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )
112 imaco 5377 . . . . . 6  |-  ( ( `' g  o.  `' `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' g " ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) ) )
113 imacnvcnv 5336 . . . . . . 7  |-  ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( G " ( _V 
\  { Z }
) )
114113imaeq2i 5203 . . . . . 6  |-  ( `' g " ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) ) )  =  ( `' g "
( G " ( _V  \  { Z }
) ) )
115111, 112, 1143eqtri 2462 . . . . 5  |-  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )
11688a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C )  /\  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin ) ) )
117116simplbda 609 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin )
1182adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
119 dff1o3 5682 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  <->  ( G : B -onto-> D  /\  Fun  `' G ) )
120119simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  Fun  `' G
)
121 imadif 5530 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' G  ->  ( G
" ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) ) )
122118, 120, 1213syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) ) )
123 ssv 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( G
" _V )  C_  _V
124 ssdif 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G " _V )  C_ 
_V  ->  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) )  C_  ( _V  \  ( G " { Z }
) ) )
125123, 124ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G " _V )  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \ 
( G " { Z } ) )
126118, 3, 593syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  G  Fn  B )
12751adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Z  e.  B )
128127snssd 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  { Z }  C_  B )
129 snidg 3841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  { Z } )
130127, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Z  e.  { Z } )
131 fnfvima 5978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Fn  B  /\  { Z }  C_  B  /\  Z  e.  { Z } )  ->  ( G `  Z )  e.  ( G " { Z } ) )
132126, 128, 130, 131syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G `  Z )  e.  ( G " { Z } ) )
13353, 132syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  ( G " { Z } ) )
134133snssd 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  { W }  C_  ( G " { Z } ) )
135134sscond 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( _V  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
136125, 135syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( G " _V )  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
137122, 136eqsstrd 3384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G " ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
138 imass2 5242 . . . . . . 7  |-  ( ( G " ( _V 
\  { Z }
) )  C_  ( _V  \  { W }
)  ->  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) ) 
C_  ( `' g
" ( _V  \  { W } ) ) )
139137, 138syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )  C_  ( `' g " ( _V  \  { W } ) ) )
140 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' g "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) ) 
C_  ( `' g
" ( _V  \  { W } ) ) )  ->  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
141117, 139, 140syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
142115, 141syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
143 imafi 7401 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )  ->  ( F "
( `' ( `' G  o.  g )
" ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
144109, 142, 143syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( F " ( `' ( `' G  o.  g
) " ( _V 
\  { Z }
) ) )  e. 
Fin )
145 cnveq 5048 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  `' x  =  `' ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) )
146 cnvco 5058 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  =  ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) )
147145, 146syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  `' x  =  ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g ) ) )
148147imaeq1d 5204 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
149 imaco 5377 . . . . . . 7  |-  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' `' F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
150 imacnvcnv 5336 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
151149, 150eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
152148, 151syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) ) )
153152eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin  <->  ( F " ( `' ( `' G  o.  g
) " ( _V 
\  { Z }
) ) )  e. 
Fin ) )
154153, 9elrab2 3096 . . 3  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S  <->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( F "
( `' ( `' G  o.  g )
" ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
)
155106, 144, 154sylanbrc 647 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S
)
156 coass 5390 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  ( `' F  o.  F ) )
15715adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
158 f1ococnv1 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C ) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C )
)
160159coeq2d 5037 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
16194adantrl 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  g ) : C --> B )
162 fcoi1 5619 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G  o.  g
) : C --> B  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
164160, 163eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( `' G  o.  g
) )
165156, 164syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F )  =  ( `' G  o.  g ) )
166165eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) ) )
167 coass 5390 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )
1682adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
169 f1ococnv1 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B )
)
171170coeq1d 5036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F
) ) )
17220adantrr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  o.  F
) : C --> B )
173 fcoi2 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  F ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
174172, 173syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
175171, 174eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F ) )
176167, 175syl5eqr 2484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  =  ( f  o.  F ) )
177176eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( `' G  o.  g )  =  ( f  o.  F ) ) )
178 eqcom 2440 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  g
)  =  ( f  o.  F )  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) )
179177, 178syl6bb 254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( f  o.  F
)  =  ( `' G  o.  g ) ) )
180166, 179bitr4d 249 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) ) )
181 f1ofo 5683 . . . . 5  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
182157, 181syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -onto-> A )
183 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
18412, 13, 1833syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  Fn  A )
185184adantrr 699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
f  Fn  A )
186 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B  ->  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A )
187100, 186syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
188187adantrl 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
189 cocan2 6027 . . . 4  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  f  Fn  A  /\  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
)  o.  F )  <-> 
f  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) ) )
190182, 185, 188, 189syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) ) )
1912, 80syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
192191adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
193 f1of1 5675 . . . . 5  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D -1-1-> B
)
194192, 193syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-> B
)
19592adantrl 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
g : C --> D )
19622adantrr 699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )
197 cocan1 6026 . . . 4  |-  ( ( `' G : D -1-1-> B  /\  g : C --> D  /\  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )  ->  ( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
198194, 195, 196, 197syl3anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
g  =  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) )
199180, 190, 1983bitr3d 276 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
2001, 79, 155, 199f1o2d 6298 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816    e. cmpt 4268    _I cid 4495   `'ccnv 4879    |` cres 4882   "cima 4883    o. ccom 4884   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1->wf1 5453   -onto->wfo 5454   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   Fincfn 7111
This theorem is referenced by:  wemapwe  7656  oef1o  7657  mapfien2  27237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-1o 6726  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115
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