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Theorem mapfien 7399
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
mapfien.t  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  ( `' x " ( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin }
mapfien.w  |-  W  =  ( G `  Z
)
mapfien.f  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
mapfien.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
mapfien.c  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
mapfien.d  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
mapfien.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mapfien  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, f, F    f, G, x    ph, f    x, D    S, f    T, f    x, W   
x, Z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( f)    B( f)    C( f)    D( f)    S( x)    T( x)    W( f)    Z( f)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . 2  |-  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  G : B
--> D )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : B --> D )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B --> D )
6 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
76imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) ) )
87eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
( `' x "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' f "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin ) )
9 mapfien.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin }
108, 9elrab2 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin ) )
1110simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  S  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
1211adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
13 elmapi 6792 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
1412, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f : A --> B )
15 mapfien.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
16 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1817adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C --> A )
19 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  F : C --> A )  ->  ( f  o.  F ) : C --> B )
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
f  o.  F ) : C --> B )
21 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> D  /\  ( f  o.  F
) : C --> B )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D )
225, 20, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) : C --> D )
23 mapfien.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
24 mapfien.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
25 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( G  o.  (
f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C )  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D ) )
2822, 27mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
) )
29 cnvco 4865 . . . . . . 7  |-  `' ( G  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G )
3029imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G ) " ( _V  \  { W }
) )
31 imaco 5178 . . . . . 6  |-  ( ( `' ( f  o.  F )  o.  `' G ) " ( _V  \  { W }
) )  =  ( `' ( f  o.  F ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )
3230, 31eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' ( f  o.  F ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )
33 cnvco 4865 . . . . . 6  |-  `' ( f  o.  F )  =  ( `' F  o.  `' f )
3433imaeq1i 5009 . . . . 5  |-  ( `' ( f  o.  F
) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  =  ( ( `' F  o.  `' f ) "
( `' G "
( _V  \  { W } ) ) )
35 imaco 5178 . . . . 5  |-  ( ( `' F  o.  `' f ) " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  =  ( `' F "
( `' f "
( `' G "
( _V  \  { W } ) ) ) )
3632, 34, 353eqtri 2307 . . . 4  |-  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )
3715adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
38 dff1o3 5478 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  ( F : C -onto-> A  /\  Fun  `' F ) )
3938simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  Fun  `' F
)
4037, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Fun  `' F )
4110simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  S  ->  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
4241adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
432adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
44 f1ofun 5474 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  Fun  G )
45 funcnvcnv 5308 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  `' `' G )
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Fun  `' `' G )
47 imadif 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' `' G  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) ) )
49 ssv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' G " _V )  C_ 
_V
50 ssdif 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' G " _V )  C_ 
_V  ->  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  ( `' G " { W } ) ) )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  ( `' G " { W } ) )
52 mapfien.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Z  e.  B )
54 mapfien.w . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  W  =  ( G `  Z
)
5554eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G `
 Z )  =  W
56 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 Z )  e. 
_V
5756elsnc 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G `  Z )  e.  { W }  <->  ( G `  Z )  =  W )
5855, 57mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G `
 Z )  e. 
{ W }
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G `  Z )  e.  { W } )
60 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : B --> D  ->  G  Fn  B )
61 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  Fn  B  ->  ( Z  e.  ( `' G " { W }
)  <->  ( Z  e.  B  /\  ( G `
 Z )  e. 
{ W } ) ) )
625, 60, 613syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( Z  e.  ( `' G " { W }
)  <->  ( Z  e.  B  /\  ( G `
 Z )  e. 
{ W } ) ) )
6353, 59, 62mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  Z  e.  ( `' G " { W } ) )
6463snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  { Z }  C_  ( `' G " { W } ) )
65 sscon 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( { Z }  C_  ( `' G " { W } )  ->  ( _V  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  { Z } ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( _V  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  { Z } ) )
6751, 66syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( `' G " _V )  \  ( `' G " { W } ) )  C_  ( _V  \  { Z } ) )
6848, 67eqsstrd 3212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  C_  ( _V  \  { Z }
) )
69 imass2 5049 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G " ( _V 
\  { W }
) )  C_  ( _V  \  { Z }
)  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  { Z } ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  C_  ( `' f " ( _V  \  { Z }
) ) )
71 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' f "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) ) 
C_  ( `' f
" ( _V  \  { Z } ) ) )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V  \  { W } ) ) )  e.  Fin )
7242, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  e. 
Fin )
73 imafi 7148 . . . . 5  |-  ( ( Fun  `' F  /\  ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )  e.  Fin )
7440, 72, 73syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' F " ( `' f " ( `' G " ( _V 
\  { W }
) ) ) )  e.  Fin )
7536, 74syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F
) ) " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin )
76 cnveq 4855 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  `' x  =  `' ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )
7776imaeq1d 5011 . . . . 5  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F
) ) " ( _V  \  { W }
) ) )
7877eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  (
( `' x "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' ( G  o.  ( f  o.  F ) ) "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin ) )
79 mapfien.t . . . 4  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  ( `' x " ( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin }
8078, 79elrab2 2925 . . 3  |-  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T  <->  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( `' ( G  o.  (
f  o.  F ) ) " ( _V 
\  { W }
) )  e.  Fin ) )
8128, 75, 80sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T )
82 f1ocnv 5485 . . . . . . . 8  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
83 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D --> B )
842, 82, 833syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  `' G : D --> B )
8584adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' G : D --> B )
86 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
87 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  g  ->  `' x  =  `' g
)
8887imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  g  ->  ( `' x " ( _V 
\  { W }
) )  =  ( `' g " ( _V  \  { W }
) ) )
8988eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  g  ->  (
( `' x "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' g "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin ) )
9089, 79elrab2 2925 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( `' g " ( _V  \  { W } ) )  e.  Fin ) )
9186, 90sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
g  e.  ( D  ^m  C )  /\  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin ) )
9291simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  ( D  ^m  C
) )
93 elmapi 6792 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( D  ^m  C )  ->  g : C --> D )
9492, 93syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g : C --> D )
95 fco 5398 . . . . . 6  |-  ( ( `' G : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( `' G  o.  g ) : C --> B )
9685, 94, 95syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' G  o.  g
) : C --> B )
97 f1ocnv 5485 . . . . . . 7  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
98 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  `' F : A --> C )
9915, 97, 983syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' F : A --> C )
10099adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' F : A --> C )
101 fco 5398 . . . . 5  |-  ( ( ( `' G  o.  g ) : C --> B  /\  `' F : A
--> C )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
10296, 100, 101syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
103 mapfien.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
104 mapfien.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
105 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <->  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) : A --> B ) )
106103, 104, 105syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <->  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) : A --> B ) )
107106adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B ) )
108102, 107mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A ) )
109 f1ofun 5474 . . . . . 6  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  Fun  F )
11015, 109syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  F )
111110adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Fun  F )
112 cnvco 4865 . . . . . . 7  |-  `' ( `' G  o.  g
)  =  ( `' g  o.  `' `' G )
113112imaeq1i 5009 . . . . . 6  |-  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( ( `' g  o.  `' `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )
114 imaco 5178 . . . . . 6  |-  ( ( `' g  o.  `' `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' g " ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) ) )
115 imacnvcnv 5137 . . . . . . 7  |-  ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( G " ( _V 
\  { Z }
) )
116115imaeq2i 5010 . . . . . 6  |-  ( `' g " ( `' `' G " ( _V 
\  { Z }
) ) )  =  ( `' g "
( G " ( _V  \  { Z }
) ) )
117113, 114, 1163eqtri 2307 . . . . 5  |-  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )
11890a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C )  /\  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin ) ) )
119118simplbda 607 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( _V  \  { W }
) )  e.  Fin )
1202adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
121 dff1o3 5478 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  <->  ( G : B -onto-> D  /\  Fun  `' G ) )
122121simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  Fun  `' G
)
123 imadif 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun  `' G  ->  ( G
" ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) ) )
124120, 122, 1233syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) ) )
125 ssv 3198 . . . . . . . . . 10  |-  ( G
" _V )  C_  _V
126 ssdif 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G " _V )  C_ 
_V  ->  ( ( G
" _V )  \ 
( G " { Z } ) )  C_  ( _V  \  ( G " { Z }
) ) )
127125, 126ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G " _V )  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \ 
( G " { Z } ) )
128120, 3, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  G  Fn  B )
12952adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Z  e.  B )
130129snssd 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  { Z }  C_  B )
131 snidg 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  B  ->  Z  e.  { Z } )
132129, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  Z  e.  { Z } )
133 fnfvima 5756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  Fn  B  /\  { Z }  C_  B  /\  Z  e.  { Z } )  ->  ( G `  Z )  e.  ( G " { Z } ) )
134128, 130, 132, 133syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G `  Z )  e.  ( G " { Z } ) )
13554, 134syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  W  e.  ( G " { Z } ) )
136135snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  { W }  C_  ( G " { Z } ) )
137 sscon 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( { W }  C_  ( G " { Z }
)  ->  ( _V  \  ( G " { Z } ) )  C_  ( _V  \  { W } ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( _V  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
139127, 138syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( G " _V )  \  ( G " { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
140124, 139eqsstrd 3212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( G " ( _V  \  { Z } ) ) 
C_  ( _V  \  { W } ) )
141 imass2 5049 . . . . . . 7  |-  ( ( G " ( _V 
\  { Z }
) )  C_  ( _V  \  { W }
)  ->  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) ) 
C_  ( `' g
" ( _V  \  { W } ) ) )
142140, 141syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )  C_  ( `' g " ( _V  \  { W } ) ) )
143 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' g "
( _V  \  { W } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) ) 
C_  ( `' g
" ( _V  \  { W } ) ) )  ->  ( `' g " ( G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
144119, 142, 143syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' g " ( G " ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
145117, 144syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
146 imafi 7148 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )  ->  ( F "
( `' ( `' G  o.  g )
" ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
147111, 145, 146syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( F " ( `' ( `' G  o.  g
) " ( _V 
\  { Z }
) ) )  e. 
Fin )
148 cnveq 4855 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  `' x  =  `' ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) )
149 cnvco 4865 . . . . . . . 8  |-  `' ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  =  ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) )
150148, 149syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  `' x  =  ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g ) ) )
151150imaeq1d 5011 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
152 imaco 5178 . . . . . . 7  |-  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' `' F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
153 imacnvcnv 5137 . . . . . . 7  |-  ( `' `' F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
154152, 153eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( `' `' F  o.  `' ( `' G  o.  g
) ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) )
155151, 154syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( `' x " ( _V  \  { Z } ) )  =  ( F " ( `' ( `' G  o.  g ) " ( _V  \  { Z }
) ) ) )
156155eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  ->  ( ( `' x " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin  <->  ( F " ( `' ( `' G  o.  g
) " ( _V 
\  { Z }
) ) )  e. 
Fin ) )
157156, 9elrab2 2925 . . 3  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S  <->  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( F "
( `' ( `' G  o.  g )
" ( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
)
158108, 147, 157sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S
)
159 coass 5191 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  ( `' F  o.  F ) )
16015adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
161 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C ) )
162160, 161syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C )
)
163162coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
16496adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  g ) : C --> B )
165 fcoi1 5415 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G  o.  g
) : C --> B  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
166164, 165syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
167163, 166eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( `' G  o.  g
) )
168159, 167syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F )  =  ( `' G  o.  g ) )
169168eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) ) )
170 coass 5191 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )
1712adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
172 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
173171, 172syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B )
)
174173coeq1d 4845 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F
) ) )
17520adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  o.  F
) : C --> B )
176 fcoi2 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  F ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
177175, 176syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
178174, 177eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F ) )
179170, 178syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  =  ( f  o.  F ) )
180179eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( `' G  o.  g )  =  ( f  o.  F ) ) )
181 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  g
)  =  ( f  o.  F )  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) )
182180, 181syl6bb 252 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( f  o.  F
)  =  ( `' G  o.  g ) ) )
183169, 182bitr4d 247 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) ) )
184 f1ofo 5479 . . . . 5  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
185160, 184syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -onto-> A )
186 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
18712, 13, 1863syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  Fn  A )
188187adantrr 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
f  Fn  A )
189 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B  ->  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A )
190102, 189syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
191190adantrl 696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
192 cocan2 5802 . . . 4  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  f  Fn  A  /\  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
)  o.  F )  <-> 
f  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) ) )
193185, 188, 191, 192syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) ) )
1942, 82syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
195194adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
196 f1of1 5471 . . . . 5  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D -1-1-> B
)
197195, 196syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-> B
)
19894adantrl 696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
g : C --> D )
19922adantrr 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )
200 cocan1 5801 . . . 4  |-  ( ( `' G : D -1-1-> B  /\  g : C --> D  /\  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )  ->  ( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
201197, 198, 199, 200syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
g  =  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) )
202183, 193, 2013bitr3d 274 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
2031, 81, 158, 202f1o2d 6069 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  wemapwe  7400  oef1o  7401  mapfien2  27258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
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