Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons 26786
 Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1
Assertion
Ref Expression
mapfzcons

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . . . . 6
2 elmapex 7040 . . . . . . . . 9
32simpld 447 . . . . . . . 8
433ad2ant2 980 . . . . . . 7
5 ovex 6109 . . . . . . 7
6 elmapg 7034 . . . . . . 7
74, 5, 6sylancl 645 . . . . . 6
81, 7mpbid 203 . . . . 5
9 ovex 6109 . . . . . . . 8
10 simp3 960 . . . . . . . 8
11 f1osng 5719 . . . . . . . 8
129, 10, 11sylancr 646 . . . . . . 7
13 f1of 5677 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 snssi 3944 . . . . . . 7
16153ad2ant3 981 . . . . . 6
17 fss 5602 . . . . . 6
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5
19 fzp1disj 11110 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
21 fun 5610 . . . . 5
228, 18, 20, 21syl21anc 1184 . . . 4
23 1z 10316 . . . . . . 7
24 simp1 958 . . . . . . . 8
25 nn0uz 10525 . . . . . . . . 9
26 1m1e0 10073 . . . . . . . . . 10
2726fveq2i 5734 . . . . . . . . 9
2825, 27eqtr4i 2461 . . . . . . . 8
2924, 28syl6eleq 2528 . . . . . . 7
30 fzsuc2 11109 . . . . . . 7
3123, 29, 30sylancr 646 . . . . . 6
3231eqcomd 2443 . . . . 5
33 unidm 3492 . . . . . 6
3433a1i 11 . . . . 5
3532, 34feq23d 5591 . . . 4
3622, 35mpbid 203 . . 3
37 ovex 6109 . . . 4
38 elmapg 7034 . . . 4
394, 37, 38sylancl 645 . . 3
4036, 39mpbird 225 . 2
41 mapfzcons.1 . . . . 5
4241opeq1i 3989 . . . 4
4342sneqi 3828 . . 3
4443uneq2i 3500 . 2
4541oveq2i 6095 . . 3
4645oveq2i 6095 . 2
4740, 44, 463eltr4g 2521 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cun 3320   cin 3321   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cop 3819  wf 5453  wf1o 5456  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmin 9296  cn0 10226  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  26868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
 Copyright terms: Public domain W3C validator