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Theorem mapfzcons 26786
Description: Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  (
1 ... M ) ) )

Proof of Theorem mapfzcons
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  A  e.  ( B  ^m  (
1 ... N ) ) )
2 elmapex 7040 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( B  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V ) )
32simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  B  e.  _V )
433ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  B  e.  _V )
5 ovex 6109 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
6 elmapg 7034 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
A : ( 1 ... N ) --> B ) )
74, 5, 6sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  A :
( 1 ... N
) --> B ) )
81, 7mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
9 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
10 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  B )
11 f1osng 5719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  _V  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C } )
129, 10, 11sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } -1-1-onto-> { C } )
13 f1of 5677 . . . . . . 7  |-  ( {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } -1-1-onto-> { C }  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> { C } )
15 snssi 3944 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  B  ->  { C }  C_  B )
16153ad2ant3 981 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { C }  C_  B )
17 fss 5602 . . . . . 6  |-  ( ( { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } : { ( N  +  1 ) } --> { C }  /\  { C }  C_  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )
1814, 16, 17syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )
19 fzp1disj 11110 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/) )
21 fun 5610 . . . . 5  |-  ( ( ( A : ( 1 ... N ) --> B  /\  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } : { ( N  + 
1 ) } --> B )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> ( B  u.  B
) )
228, 18, 20, 21syl21anc 1184 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u. 
{ ( N  + 
1 ) } ) --> ( B  u.  B
) )
23 1z 10316 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
24 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
25 nn0uz 10525 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
26 1m1e0 10073 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
2726fveq2i 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  0 )
2825, 27eqtr4i 2461 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) )
2924, 28syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )
30 fzsuc2 11109 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  -  1 ) ) )  -> 
( 1 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) )
3123, 29, 30sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  {
( N  +  1 ) } ) )
3231eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( 1 ... N
)  u.  { ( N  +  1 ) } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )
33 unidm 3492 . . . . . 6  |-  ( B  u.  B )  =  B
3433a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( B  u.  B )  =  B )
3532, 34feq23d 5591 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( ( 1 ... N )  u.  { ( N  +  1 ) } ) --> ( B  u.  B )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
3622, 35mpbid 203 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B )
37 ovex 6109 . . . 4  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
_V
38 elmapg 7034 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( A  u.  {
<. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
394, 37, 38sylancl 645 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  (
( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( A  u.  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. } ) : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) --> B ) )
4036, 39mpbird 225 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
41 mapfzcons.1 . . . . 5  |-  M  =  ( N  +  1 )
4241opeq1i 3989 . . . 4  |-  <. M ,  C >.  =  <. ( N  +  1 ) ,  C >.
4342sneqi 3828 . . 3  |-  { <. M ,  C >. }  =  { <. ( N  + 
1 ) ,  C >. }
4443uneq2i 3500 . 2  |-  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  =  ( A  u.  { <. ( N  +  1 ) ,  C >. } )
4541oveq2i 6095 . . 3  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
4645oveq2i 6095 . 2  |-  ( B  ^m  ( 1 ... M ) )  =  ( B  ^m  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) )
4740, 44, 463eltr4g 2521 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  C  e.  B )  ->  ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  e.  ( B  ^m  (
1 ... M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   -->wf 5453   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  26868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
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