Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Unicode version

Theorem mapfzcons1 26663
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 6997 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
2 ffn 5550 . . . 4  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  A  Fn  ( 1 ... N ) )
3 fnresdm 5513 . . . 4  |-  ( A  Fn  ( 1 ... N )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
41, 2, 33syl 19 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
54uneq1d 3460 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) ) )
6 resundir 5120 . 2  |-  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )
7 dmres 5126 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )
8 dmsnopss 5301 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { M }
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( N  +  1 )
109sneqi 3786 . . . . . . . . 9  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
118, 10sseqtri 3340 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { ( N  +  1 ) }
12 sslin 3527 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. M ,  C >. }  C_  { ( N  +  1 ) }  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )  C_  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  C_  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11061 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
15 sseq0 3619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  i^i  dom  {
<. M ,  C >. } )  C_  ( (
1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/) )
1613, 14, 15mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/)
177, 16eqtri 2424 . . . . 5  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)
18 relres 5133 . . . . . 6  |-  Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )
19 reldm0 5046 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) )
2117, 20mpbir 201 . . . 4  |-  ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)
2221uneq2i 3458 . . 3  |-  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  (/) )
23 un0 3612 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2422, 23eqtr2i 2425 . 2  |-  A  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) ) )
255, 6, 243eqtr4g 2461 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   dom cdm 4837    |` cres 4839   Rel wrel 4842    Fn wfn 5408   -->wf 5409  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   1c1 8947    + caddc 8949   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  26744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator