Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Unicode version

Theorem mapfzcons1 26117
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 6880 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
2 ffn 5472 . . . 4  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  A  Fn  ( 1 ... N ) )
3 fnresdm 5435 . . . 4  |-  ( A  Fn  ( 1 ... N )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
54uneq1d 3404 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) ) )
6 resundir 5052 . 2  |-  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )
7 dmres 5058 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )
8 dmsnopss 5227 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { M }
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( N  +  1 )
109sneqi 3728 . . . . . . . . 9  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
118, 10sseqtri 3286 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { ( N  +  1 ) }
12 sslin 3471 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. M ,  C >. }  C_  { ( N  +  1 ) }  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )  C_  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  C_  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 10935 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
15 sseq0 3562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  i^i  dom  {
<. M ,  C >. } )  C_  ( (
1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/) )
1613, 14, 15mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/)
177, 16eqtri 2378 . . . . 5  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)
18 relres 5065 . . . . . 6  |-  Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )
19 reldm0 4978 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) )
2117, 20mpbir 200 . . . 4  |-  ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)
2221uneq2i 3402 . . 3  |-  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  (/) )
23 un0 3555 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2422, 23eqtr2i 2379 . 2  |-  A  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) ) )
255, 6, 243eqtr4g 2415 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   dom cdm 4771    |` cres 4773   Rel wrel 4776    Fn wfn 5332   -->wf 5333  (class class class)co 5945    ^m cmap 6860   1c1 8828    + caddc 8830   ...cfz 10874
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  26198
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator