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Theorem mapmapmap 25251
Description: Function returning a composite. (Contributed by FL, 19-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
injsurinj.1  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
Assertion
Ref Expression
mapmapmap  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )
)
Distinct variable groups:    A, f    f,
A1    B, f    f, B1    f, E    f, G
Allowed substitution hint:    F1( f)

Proof of Theorem mapmapmap
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : B --> B1  /\  B  e.  _V )  ->  E  e.  _V )
21expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  ( E : B --> B1  ->  E  e.  _V ) )
32ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( E : B
--> B1  ->  E  e.  _V ) )
43impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : B --> B1  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
543adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
6 vex 2804 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
7 coexg 5231 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( E  o.  f
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( E  o.  f )  e.  _V )
9 fex 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : A1 --> A  /\  A1  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
109expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A1  e.  _V  ->  ( G : A1 --> A  ->  G  e.  _V ) )
1110ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( G : A1
--> A  ->  G  e.  _V ) )
1211com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( G : A1 --> A  -> 
( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V ) )
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( E : B --> B1  ->  ( G : A1 --> A  -> 
( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V ) ) )
14133imp 1145 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  G  e.  _V )
158, 14jca 518 . . . . 5  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( ( E  o.  f )  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
1615ralrimivw 2640 . . . 4  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  e. 
_V  /\  G  e.  _V ) )
17 coexg 5231 . . . . 5  |-  ( ( ( E  o.  f
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  f )  o.  G
)  e.  _V )
1817ralimi 2631 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  A ) ( ( E  o.  f )  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e.  _V )
1916, 18syl 15 . . 3  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e.  _V )
20 injsurinj.1 . . . 4  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
2120mptfng 5385 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  A ) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e. 
_V 
<-> 
F1  Fn  ( B  ^m  A ) )
2219, 21sylib 188 . 2  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1  Fn  ( B  ^m  A ) )
23 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  x  e.  ( B  ^m  A ) )
245adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  E  e.  _V )
25 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
26 coexg 5231 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( E  o.  x
)  e.  _V )
2724, 25, 26sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( E  o.  x
)  e.  _V )
2814adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  G  e.  _V )
29 coexg 5231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  o.  x
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
31 coeq2 4858 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  x  ->  ( E  o.  f )  =  ( E  o.  x ) )
3231coeq1d 4861 . . . . . . 7  |-  ( f  =  x  ->  (
( E  o.  f
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
3332, 20fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )  ->  ( F1 `  x
)  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
3423, 30, 33syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
35 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  E : B --> B1 )
36 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( B  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) )
38373ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )
39 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
x : A --> B ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  <->  x : A --> B ) )
4140biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  x : A --> B )
42 fco 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E : B --> B1  /\  x : A --> B )  -> 
( E  o.  x
) : A --> B1 )
4335, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( E  o.  x
) : A --> B1 )
44 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  G : A1 --> A )
4543, 44jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( E  o.  x ) : A --> B1 
/\  G : A1 --> A ) )
4645a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  (
( E  o.  x
) : A --> B1  /\  G : A1 --> A ) ) )
47 fco 5414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  o.  x
) : A --> B1  /\  G : A1 --> A )  -> 
( ( E  o.  x )  o.  G
) : A1 --> B1 )
4846, 47syl6 29 . . . . . 6  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  (
( E  o.  x
)  o.  G ) : A1 --> B1 )
)
49 feq1 5391 . . . . . 6  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( F1 `  x ) : A1 --> B1  <->  ( ( E  o.  x )  o.  G ) : A1 --> B1 ) )
5048, 49sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  ( F1 `  x ) :
A1 --> B1 ) )
5134, 50mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x ) : A1 --> B1 )
52 pm3.22 436 . . . . . . . 8  |-  ( (
A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V )  -> 
( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
5352adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
54533ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
5554adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
56 elmapg 6801 . . . . 5  |-  ( (
B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V )  -> 
( ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1 `  x
) : A1 --> B1 )
)
5755, 56syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1 `  x
) : A1 --> B1 )
)
5851, 57mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x )  e.  ( B1  ^m  A1 )
)
5958ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A
) ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 ) )
60 ffnfv 5701 . 2  |-  ( F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1  Fn  ( B  ^m  A )  /\  A. x  e.  ( B  ^m  A
) ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 ) ) )
6122, 59, 60sylanbrc 645 1  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  injsurinj  25252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790
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