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Theorem mapmapmap 25148
Description: Function returning a composite. (Contributed by FL, 19-Nov-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
injsurinj.1  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
Assertion
Ref Expression
mapmapmap  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )
)
Distinct variable groups:    A, f    f,
A1    B, f    f, B1    f, E    f, G
Allowed substitution hint:    F1( f)

Proof of Theorem mapmapmap
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fex 5749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : B --> B1  /\  B  e.  _V )  ->  E  e.  _V )
21expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  ( E : B --> B1  ->  E  e.  _V ) )
32ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( E : B
--> B1  ->  E  e.  _V ) )
43impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : B --> B1  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
543adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  E  e.  _V )
6 vex 2791 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
7 coexg 5215 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( E  o.  f
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( E  o.  f )  e.  _V )
9 fex 5749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : A1 --> A  /\  A1  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
109expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A1  e.  _V  ->  ( G : A1 --> A  ->  G  e.  _V ) )
1110ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( G : A1
--> A  ->  G  e.  _V ) )
1211com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( G : A1 --> A  -> 
( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V ) )
1312a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( E : B --> B1  ->  ( G : A1 --> A  -> 
( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V ) ) )
14133imp 1145 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  G  e.  _V )
158, 14jca 518 . . . . 5  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( ( E  o.  f )  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) )
1615ralrimivw 2627 . . . 4  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  e. 
_V  /\  G  e.  _V ) )
17 coexg 5215 . . . . 5  |-  ( ( ( E  o.  f
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  f )  o.  G
)  e.  _V )
1817ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  A ) ( ( E  o.  f )  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e.  _V )
1916, 18syl 15 . . 3  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  A
) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e.  _V )
20 injsurinj.1 . . . 4  |-  F1  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( ( E  o.  f )  o.  G
) )
2120mptfng 5369 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  A ) ( ( E  o.  f )  o.  G )  e. 
_V 
<-> 
F1  Fn  ( B  ^m  A ) )
2219, 21sylib 188 . 2  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1  Fn  ( B  ^m  A ) )
23 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  x  e.  ( B  ^m  A ) )
245adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  E  e.  _V )
25 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
26 coexg 5215 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  ( E  o.  x
)  e.  _V )
2724, 25, 26sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( E  o.  x
)  e.  _V )
2814adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  G  e.  _V )
29 coexg 5215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  o.  x
)  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
3027, 28, 29syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )
31 coeq2 4842 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  x  ->  ( E  o.  f )  =  ( E  o.  x ) )
3231coeq1d 4845 . . . . . . 7  |-  ( f  =  x  ->  (
( E  o.  f
)  o.  G )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
3332, 20fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( ( E  o.  x )  o.  G
)  e.  _V )  ->  ( F1 `  x
)  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
3423, 30, 33syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G ) )
35 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  E : B --> B1 )
36 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( B  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) )
38373ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( B  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) )
39 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
x : A --> B ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  <->  x : A --> B ) )
4140biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  x : A --> B )
42 fco 5398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E : B --> B1  /\  x : A --> B )  -> 
( E  o.  x
) : A --> B1 )
4335, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( E  o.  x
) : A --> B1 )
44 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  ->  G : A1 --> A )
4543, 44jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( E  o.  x ) : A --> B1 
/\  G : A1 --> A ) )
4645a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  (
( E  o.  x
) : A --> B1  /\  G : A1 --> A ) ) )
47 fco 5398 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  o.  x
) : A --> B1  /\  G : A1 --> A )  -> 
( ( E  o.  x )  o.  G
) : A1 --> B1 )
4846, 47syl6 29 . . . . . 6  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  (
( E  o.  x
)  o.  G ) : A1 --> B1 )
)
49 feq1 5375 . . . . . 6  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( F1 `  x ) : A1 --> B1  <->  ( ( E  o.  x )  o.  G ) : A1 --> B1 ) )
5048, 49sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( (
F1 `  x )  =  ( ( E  o.  x )  o.  G )  ->  (
( ( E : B
--> B1  /\  G : A1
--> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A
) )  ->  ( F1 `  x ) :
A1 --> B1 ) )
5134, 50mpcom 32 . . . 4  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x ) : A1 --> B1 )
52 pm3.22 436 . . . . . . . 8  |-  ( (
A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V )  -> 
( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
5352adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) )  ->  ( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
54533ad2ant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  ( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
5554adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V ) )
56 elmapg 6785 . . . . 5  |-  ( (
B1  e.  _V  /\  A1  e.  _V )  -> 
( ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1 `  x
) : A1 --> B1 )
)
5755, 56syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1 `  x
) : A1 --> B1 )
)
5851, 57mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( E : B --> B1 
/\  G : A1 --> A  /\  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  /\  x  e.  ( B  ^m  A ) )  -> 
( F1 `  x )  e.  ( B1  ^m  A1 )
)
5958ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  A. x  e.  ( B  ^m  A
) ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 ) )
60 ffnfv 5685 . 2  |-  ( F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )  <->  ( F1  Fn  ( B  ^m  A )  /\  A. x  e.  ( B  ^m  A
) ( F1 `  x
)  e.  ( B1  ^m  A1 ) ) )
6122, 59, 60sylanbrc 645 1  |-  ( ( E : B --> B1  /\  G : A1 --> A  /\  (
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( A1  e.  _V  /\  B1  e.  _V ) ) )  ->  F1 : ( B  ^m  A ) --> ( B1  ^m  A1 )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  injsurinj  25149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774
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