Theorem mapprc 4326

Description: When A is a proper class, the class of all functions mapping A to B is empty. Exercise 4.41 of [Mendelson] p. 255.

Assertion

Ref	Expression
mapprc	|- (-. A e. V -> {f | f:A-->B} = (/))

Distinct variable groups:   A,f   B,f

Proof of Theorem mapprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0 2290	. . 3 |- ({f | f:A-->B} =/= (/) <-> E.f f:A-->B)
2		fdm 3631	. . . . 5 |- (f:A-->B -> dom f = A)
3		visset 1813	. . . . . 6 |- f e. V
4	3	dmex 3360	. . . . 5 |- dom f e. V
5	2, 4	syl6eqelr 1557	. . . 4 |- (f:A-->B -> A e. V)
6	5	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.f f:A-->B -> A e. V)
7	1, 6	sylbi 199	. 2 |- ({f | f:A-->B} =/= (/) -> A e. V)
8	7	necon1bi 1609	1 |- (-. A e. V -> {f | f:A-->B} = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  Vcvv 1811  (/)c0 2280  dom cdm 3170  -->wf 3178

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fn 3193  df-f 3194

Copyright terms: Public domain