MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Unicode version

Theorem mappsrpr 8730
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
mappsrpr  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 8688 . . . 4  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
21breq1i 4030 . . 3  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  1P >. ]  ~R  )
3 ltsrpr 8699 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
42, 3bitri 240 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
5 mappsrpr.2 . . 3  |-  C  e. 
R.
6 ltasr 8722 . . 3  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
)
8 ltrelpr 8622 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
98brel 4737 . . . . 5  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e.  P. ) )
109simprd 449 . . . 4  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  A
)  e.  P. )
11 dmplp 8636 . . . . . 6  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
12 0npr 8616 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  P.
1311, 12ndmovrcl 6006 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )
)
1413simprd 449 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  A  e.  P. )
1510, 14syl 15 . . 3  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  A  e.  P. )
16 1pr 8639 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
17 addclpr 8642 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
1816, 16, 17mp2an 653 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
19 ltaddpr 8658 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2018, 19mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2115, 20impbii 180 . 2  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  <-> 
A  e.  P. )
224, 7, 213bitr3i 266 1  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1684   <.cop 3643   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   [cec 6658   P.cnp 8481   1Pc1p 8482    +P. cpp 8483    <P cltp 8485    ~R cer 8488   R.cnr 8489   -1Rcm1r 8492    +R cplr 8493    <R cltr 8495
This theorem is referenced by:  map2psrpr  8732  supsrlem  8733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-plp 8607  df-ltp 8609  df-plpr 8679  df-enr 8681  df-nr 8682  df-plr 8683  df-ltr 8685  df-m1r 8688
  Copyright terms: Public domain W3C validator