MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Structured version   Unicode version

Theorem mappsrpr 8975
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
mappsrpr  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 8933 . . . 4  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
21breq1i 4211 . . 3  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  1P >. ]  ~R  )
3 ltsrpr 8944 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
42, 3bitri 241 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
5 mappsrpr.2 . . 3  |-  C  e. 
R.
6 ltasr 8967 . . 3  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
)
8 ltrelpr 8867 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
98brel 4918 . . . . 5  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e.  P. ) )
109simprd 450 . . . 4  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  A
)  e.  P. )
11 dmplp 8881 . . . . . 6  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
12 0npr 8861 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  P.
1311, 12ndmovrcl 6225 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )
)
1413simprd 450 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  A  e.  P. )
1510, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  A  e.  P. )
16 1pr 8884 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
17 addclpr 8887 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
1816, 16, 17mp2an 654 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
19 ltaddpr 8903 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2018, 19mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2115, 20impbii 181 . 2  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  <-> 
A  e.  P. )
224, 7, 213bitr3i 267 1  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    e. wcel 1725   <.cop 3809   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   [cec 6895   P.cnp 8726   1Pc1p 8727    +P. cpp 8728    <P cltp 8730    ~R cer 8733   R.cnr 8734   -1Rcm1r 8737    +R cplr 8738    <R cltr 8740
This theorem is referenced by:  map2psrpr  8977  supsrlem  8978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-1p 8851  df-plp 8852  df-ltp 8854  df-plpr 8924  df-enr 8926  df-nr 8927  df-plr 8928  df-ltr 8930  df-m1r 8933
  Copyright terms: Public domain W3C validator