MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsn Unicode version

Theorem mapsn 6825
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 snex 4232 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
31, 2elmap 6812 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
4 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
5 map0.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
65snid 3680 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5364 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
84, 6, 7sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3712 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 frel 5408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  Rel  f )
11 relimasn 5052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B f y } )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B
f y } )
13 imadmrn 5040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
14 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1514imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
1613, 15syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1712, 16eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1817eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1918exbidv 1616 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
209, 19syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
218, 20mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
22 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2322snid 3680 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
24 eleq2 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2523, 24mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
26 frn 5411 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2726sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2825, 27syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
29 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
304, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
31 fof 5467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
33 feq3 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3432, 33syl5ibcom 211 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
355, 22fsn 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3634, 35syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3728, 36jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3837eximdv 1612 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3921, 38mpd 14 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
40 df-rex 2562 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4139, 40sylibr 203 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
425, 22f1osn 5529 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
43 f1oeq1 5479 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4442, 43mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
45 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4644, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
47 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
48 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4946, 47, 48syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
5049expcom 424 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5150rexlimiv 2674 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5241, 51impbii 180 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
533, 52bitri 240 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5453abbi2i 2407 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156   {cab 2282   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788
This theorem is referenced by:  mapsnen  6954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790
  Copyright terms: Public domain W3C validator