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Theorem mapsn 6993
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1  |-  A  e. 
_V
map0.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsn  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Distinct variable groups:    y, f, A    B, f, y

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 snex 4348 . . . 4  |-  { B }  e.  _V
31, 2elmap 6980 . . 3  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A )
4 ffn 5533 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
5 map0.2 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
65snid 3786 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ B }
7 fneu 5491 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
84, 6, 7sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  E! y  B f y )
9 euabsn 3821 . . . . . . . 8  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
10 frel 5536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  Rel  f )
11 relimasn 5169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  f  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B f y } )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B
f y } )
13 imadmrn 5157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
14 fdm 5537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
1514imaeq2d 5145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
1613, 15syl5reqr 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
1712, 16eqtr3d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
1817eqeq1d 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
1918exbidv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
209, 19syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
218, 20mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ran  f  =  { y } )
22 vex 2904 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2322snid 3786 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
{ y }
24 eleq2 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
2523, 24mpbiri 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
26 frn 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
2726sseld 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
2825, 27syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
29 dffn4 5601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
304, 29sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
31 fof 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
33 feq3 5520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
3432, 33syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
355, 22fsn 5847 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y
>. } )
3634, 35syl6ib 218 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f  =  { <. B , 
y >. } ) )
3728, 36jcad 520 . . . . . . 7  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
3837eximdv 1629 . . . . . 6  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
3921, 38mpd 15 . . . . 5  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
40 df-rex 2657 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
4139, 40sylibr 204 . . . 4  |-  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
425, 22f1osn 5657 . . . . . . . . 9  |-  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y }
43 f1oeq1 5607 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
4442, 43mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
45 f1of 5616 . . . . . . . 8  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> { y } )
47 snssi 3887 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
48 fss 5541 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
4946, 47, 48syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  { <. B ,  y >. }  /\  y  e.  A )  ->  f : { B }
--> A )
5049expcom 425 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  (
f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
5150rexlimiv 2769 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  ->  f : { B } --> A )
5241, 51impbii 181 . . 3  |-  ( f : { B } --> A 
<->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
533, 52bitri 241 . 2  |-  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } )
5453abbi2i 2500 1  |-  ( A  ^m  { B }
)  =  { f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. } }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2240   {cab 2375   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   {csn 3759   <.cop 3762   class class class wbr 4155   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   Rel wrel 4825    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -onto->wfo 5394   -1-1-onto->wf1o 5395  (class class class)co 6022    ^m cmap 6956
This theorem is referenced by:  mapsnen  7122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-map 6958
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