MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Unicode version

Theorem mapsnconst 6813
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 snex 4216 . . . 4  |-  { X }  e.  _V
31, 2elmap 6796 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
4 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
54fsn2 5698 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 450 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
7 mapsncnv.s . . . . . 6  |-  S  =  { X }
87xpeq1i 4709 . . . . 5  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
9 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
104, 9xpsn 5700 . . . . 5  |-  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. }
118, 10eqtr2i 2304 . . . 4  |-  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } )
126, 11syl6eq 2331 . . 3  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
133, 12sylbi 187 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
147oveq2i 5869 . 2  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
1513, 14eleq2s 2375 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772
This theorem is referenced by:  mapsncnv  6814  fvcoe1  16288  coe1mul2lem1  16344  coe1mul2  16346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774
  Copyright terms: Public domain W3C validator