MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Structured version   Unicode version

Theorem mapsnconst 7051
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 snex 4397 . . . 4  |-  { X }  e.  _V
31, 2elmap 7034 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
4 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
54fsn2 5900 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 451 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
7 mapsncnv.s . . . . . 6  |-  S  =  { X }
87xpeq1i 4890 . . . . 5  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
9 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
104, 9xpsn 5902 . . . . 5  |-  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. }
118, 10eqtr2i 2456 . . . 4  |-  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } )
126, 11syl6eq 2483 . . 3  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
133, 12sylbi 188 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
147oveq2i 6084 . 2  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
1513, 14eleq2s 2527 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   <.cop 3809    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010
This theorem is referenced by:  mapsncnv  7052  fvcoe1  16595  coe1mul2lem1  16650  coe1mul2  16652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012
  Copyright terms: Public domain W3C validator