Theorem mapsnen 4410

Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
mapsnen.1	|- A e. V
mapsnen.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mapsnen	|- (A ^m {B}) ~~ A

Proof of Theorem mapsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 3968	. 2 |- (A ^m {B}) e. V
2		fvex 3717	. . 3 |- (z` B) e. V
3	2	a1i 8	. 2 |- (z e. (A ^m {B}) -> (z` B) e. V)
4		snex 2740	. . 3 |- {<.B, w>.} e. V
5	4	a1i 8	. 2 |- (w e. A -> {<.B, w>.} e. V)
6		mapsnen.1	. . . . . . 7 |- A e. V
7		mapsnen.2	. . . . . . 7 |- B e. V
8	6, 7	mapsn 4329	. . . . . 6 |- (A ^m {B}) = {z | E.y e. A z = {<.B, y>.}}
9	8	abeq2i 1562	. . . . 5 |- (z e. (A ^m {B}) <-> E.y e. A z = {<.B, y>.})
10	9	anbi1i 480	. . . 4 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
11		r19.41v 1755	. . . 4 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
12		df-rex 1642	. . . 4 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
13	10, 11, 12	3bitr2 179	. . 3 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
14		fveq1 3708	. . . . . . . . . 10 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = ({<.B, y>.}` B))
15		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
16	7, 15	fvsn 3779	. . . . . . . . . 10 |- ({<.B, y>.}` B) = y
17	14, 16	syl6eq 1515	. . . . . . . . 9 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = y)
18	17	eqeq2d 1478	. . . . . . . 8 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> w = y))
19		equcom 1125	. . . . . . . 8 |- (w = y <-> y = w)
20	18, 19	syl6bb 534	. . . . . . 7 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> y = w))
21	20	pm5.32i 643	. . . . . 6 |- ((z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (z = {<.B, y>.} /\ y = w))
22	21	anbi2i 479	. . . . 5 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
23		anass 439	. . . . 5 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
24		ancom 435	. . . . 5 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
25	22, 23, 24	3bitr2 179	. . . 4 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
26	25	exbii 1047	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
27		visset 1804	. . . 4 |- w e. V
28		eleq1 1526	. . . . 5 |- (y = w -> (y e. A <-> w e. A))
29		opeq2 2479	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.B, y>. = <.B, w>.)
30	29	sneqd 2409	. . . . . 6 |- (y = w -> {<.B, y>.} = {<.B, w>.})
31	30	eqeq2d 1478	. . . . 5 |- (y = w -> (z = {<.B, y>.} <-> z = {<.B, w>.}))
32	28, 31	anbi12d 626	. . . 4 |- (y = w -> ((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.})))
33	27, 32	ceqsexv 1826	. . 3 |- (E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
34	13, 26, 33	3bitr 177	. 2 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
35	1, 3, 5, 34	en2 4383	1 |- (A ^m {B}) ~~ A

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E.wrex 1638  Vcvv 1802  {csn 2399  <.cop 2401   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948   ^m cm 4306   ~~ cen 4348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-map 4308  df-en 4351

Copyright terms: Public domain