MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnf1o3 Structured version   Unicode version

Theorem mapsnf1o3 7062
Description: Explicit bijection in the reverse of mapsnf1o2 7061. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsnf1o3.f  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
Assertion
Ref Expression
mapsnf1o3  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Distinct variable groups:    y, B    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    F( y)

Proof of Theorem mapsnf1o3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
2 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
3 mapsncnv.x . . . 4  |-  X  e. 
_V
4 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 7061 . . 3  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B
6 f1ocnv 5687 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : ( B  ^m  S ) -1-1-onto-> B  ->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S )
8 mapsnf1o3.f . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  {
y } ) )
91, 2, 3, 4mapsncnv 7060 . . . 4  |-  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `  X ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
108, 9eqtr4i 2459 . . 3  |-  F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) )
11 f1oeq1 5665 . . 3  |-  ( F  =  `' ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  ->  ( F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) ) )
1210, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( F : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
)  <->  `' ( x  e.  ( B  ^m  S
)  |->  ( x `  X ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  S
) )
137, 12mpbir 201 1  |-  F : B
-1-1-onto-> ( B  ^m  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {csn 3814    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018
This theorem is referenced by:  coe1f2  16607  coe1add  16657  evl1rhm  19949  evl1sca  19950  pf1ind  19975  ismrer1  26547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020
  Copyright terms: Public domain W3C validator