Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapudiscn Unicode version

Theorem mapudiscn 25528
Description: Any mapping whose range is associated to the undiscrete topology is continuous. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapudiscn.2  |-  A  = 
U. J
mapudiscn.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapudiscn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( J  Cn  { (/) ,  B } ) )

Proof of Theorem mapudiscn
StepHypRef Expression
1 mapudiscn.3 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 mapudiscn.2 . . . . 5  |-  A  = 
U. J
32topopn 16652 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  A  e.  J )
4 elmapg 6785 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  J )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
F : A --> B ) )
51, 3, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <->  F : A
--> B ) )
65biimpar 471 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( B  ^m  A ) )
7 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  J  e.  Top )
82toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  A ) )
97, 8sylib 188 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  J  e.  (TopOn `  A ) )
10 cnindis 17020 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  B  e.  _V )  ->  ( J  Cn  { (/) ,  B } )  =  ( B  ^m  A ) )
119, 1, 10sylancl 643 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  ( J  Cn  {
(/) ,  B }
)  =  ( B  ^m  A ) )
126, 11eleqtrrd 2360 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( J  Cn  { (/) ,  B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {cpr 3641   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator