Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapudiscn Unicode version

Theorem mapudiscn 25631
Description: Any mapping whose range is associated to the undiscrete topology is continuous. (Contributed by FL, 1-Jun-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapudiscn.2  |-  A  = 
U. J
mapudiscn.3  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapudiscn  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( J  Cn  { (/) ,  B } ) )

Proof of Theorem mapudiscn
StepHypRef Expression
1 mapudiscn.3 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 mapudiscn.2 . . . . 5  |-  A  = 
U. J
32topopn 16668 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  A  e.  J )
4 elmapg 6801 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  J )  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
F : A --> B ) )
51, 3, 4sylancr 644 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( F  e.  ( B  ^m  A )  <->  F : A
--> B ) )
65biimpar 471 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( B  ^m  A ) )
7 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  J  e.  Top )
82toptopon 16687 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  A ) )
97, 8sylib 188 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  J  e.  (TopOn `  A ) )
10 cnindis 17036 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  A )  /\  B  e.  _V )  ->  ( J  Cn  { (/) ,  B } )  =  ( B  ^m  A ) )
119, 1, 10sylancl 643 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  ( J  Cn  {
(/) ,  B }
)  =  ( B  ^m  A ) )
126, 11eleqtrrd 2373 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F : A --> B )  ->  F  e.  ( J  Cn  { (/) ,  B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {cpr 3654   U.cuni 3843   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator