Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapunen Unicode version

Theorem mapunen 7046
 Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . 3
21a1i 10 . 2
3 ovex 5899 . . . 4
4 ovex 5899 . . . 4
53, 4xpex 4817 . . 3
65a1i 10 . 2
7 elmapi 6808 . . . . 5
8 ssun1 3351 . . . . 5
9 fssres 5424 . . . . 5
107, 8, 9sylancl 643 . . . 4
11 ssun2 3352 . . . . 5
12 fssres 5424 . . . . 5
137, 11, 12sylancl 643 . . . 4
1410, 13jca 518 . . 3
15 opelxp 4735 . . . 4
16 simpl3 960 . . . . . 6
17 simpl1 958 . . . . . 6
18 elmapg 6801 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5
20 simpl2 959 . . . . . 6
21 elmapg 6801 . . . . . 6
2216, 20, 21syl2anc 642 . . . . 5
2319, 22anbi12d 691 . . . 4
2415, 23syl5bb 248 . . 3
2514, 24syl5ibr 212 . 2
26 xp1st 6165 . . . . . . 7
2726adantl 452 . . . . . 6
28 elmapi 6808 . . . . . 6
2927, 28syl 15 . . . . 5
30 xp2nd 6166 . . . . . . 7
3130adantl 452 . . . . . 6
32 elmapi 6808 . . . . . 6
3331, 32syl 15 . . . . 5
34 simplr 731 . . . . 5
35 fun2 5422 . . . . 5
3629, 33, 34, 35syl21anc 1181 . . . 4
3736ex 423 . . 3
38 unexg 4537 . . . . 5
3917, 20, 38syl2anc 642 . . . 4
40 elmapg 6801 . . . 4
4116, 39, 40syl2anc 642 . . 3
4237, 41sylibrd 225 . 2
43 1st2nd2 6175 . . . . . . 7
4443ad2antll 709 . . . . . 6
4529adantrl 696 . . . . . . . 8
4633adantrl 696 . . . . . . . 8
47 res0 4975 . . . . . . . . . 10
48 res0 4975 . . . . . . . . . 10
4947, 48eqtr4i 2319 . . . . . . . . 9
50 simplr 731 . . . . . . . . . 10
5150reseq2d 4971 . . . . . . . . 9
5250reseq2d 4971 . . . . . . . . 9
5349, 51, 523eqtr4a 2354 . . . . . . . 8
54 fresaunres1 5430 . . . . . . . 8
5545, 46, 53, 54syl3anc 1182 . . . . . . 7
56 fresaunres2 5429 . . . . . . . 8
5745, 46, 53, 56syl3anc 1182 . . . . . . 7
5855, 57opeq12d 3820 . . . . . 6
5944, 58eqtr4d 2331 . . . . 5
60 reseq1 4965 . . . . . . 7
61 reseq1 4965 . . . . . . 7
6260, 61opeq12d 3820 . . . . . 6
6362eqeq2d 2307 . . . . 5
6459, 63syl5ibrcom 213 . . . 4
65 ffn 5405 . . . . . . . 8
66 fnresdm 5369 . . . . . . . 8
677, 65, 663syl 18 . . . . . . 7
6867ad2antrl 708 . . . . . 6
6968eqcomd 2301 . . . . 5
70 vex 2804 . . . . . . . . . 10
7170resex 5011 . . . . . . . . 9
7270resex 5011 . . . . . . . . 9
7371, 72op1std 6146 . . . . . . . 8
7471, 72op2ndd 6147 . . . . . . . 8
7573, 74uneq12d 3343 . . . . . . 7
76 resundi 4985 . . . . . . 7
7775, 76syl6eqr 2346 . . . . . 6
7877eqeq2d 2307 . . . . 5
7969, 78syl5ibrcom 213 . . . 4
8064, 79impbid 183 . . 3
8180ex 423 . 2
822, 6, 25, 42, 81en3d 6914 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   cun 3163   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cop 3656   class class class wbr 4039   cxp 4703   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1st 6136  c2nd 6137   cmap 6788   cen 6876 This theorem is referenced by:  map2xp  7047  mapdom2  7048  mapcdaen  7826  ackbij1lem5  7866  hashmap  11403 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-en 6880
 Copyright terms: Public domain W3C validator