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Theorem mapxpen 7276
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapxpen  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  ~~  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) )

Proof of Theorem mapxpen
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6109 . . 3  |-  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  e.  _V )
3 ovex 6109 . . 3  |-  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  e.  _V )
5 elmapi 7041 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  f : C --> ( A  ^m  B ) )
65ffvelrnda 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  y  e.  C )  ->  ( f `  y
)  e.  ( A  ^m  B ) )
7 elmapi 7041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  y )  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
f `  y ) : B --> A )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  y  e.  C )  ->  ( f `  y
) : B --> A )
98ffvelrnda 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  C
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( f `  y
) `  x )  e.  A )
109an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  C )  ->  (
( f `  y
) `  x )  e.  A )
1110ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  e.  A )
1211ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  e.  A
)
13 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )
1413fmpt2 6421 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  C  (
( f `  y
) `  x )  e.  A  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) : ( B  X.  C
) --> A )
1512, 14sylib 190 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) : ( B  X.  C ) --> A )
16 simp1 958 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  A  e.  V )
17 xpexg 4992 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( B  X.  C
)  e.  _V )
18173adant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( B  X.  C
)  e.  _V )
19 elmapg 7034 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( B  X.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  <-> 
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) : ( B  X.  C ) --> A ) )
2016, 18, 19syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  <-> 
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) : ( B  X.  C ) --> A ) )
2115, 20syl5ibr 214 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )
22 elmapi 7041 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) )  ->  g : ( B  X.  C ) --> A )
2322adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  g :
( B  X.  C
) --> A )
24 fovrn 6219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x
g y )  e.  A )
25243expa 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  C )  ->  (
x g y )  e.  A )
2625an32s 781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  y  e.  C )  /\  x  e.  B )  ->  (
x g y )  e.  A )
2723, 26sylanl1 633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  /\  x  e.  B )  ->  (
x g y )  e.  A )
28 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )
2927, 28fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
30 elmapg 7034 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B
)  <->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
31303adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B
)  <->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
3231ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
3329, 32mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B ) )
34 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
3533, 34fmptd 5896 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) )
3635ex 425 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
37 ovex 6109 . . . 4  |-  ( A  ^m  B )  e. 
_V
38 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  X )
39 elmapg 7034 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^m  B
)  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  <->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
4037, 38, 39sylancr 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  <->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
4136, 40sylibrd 227 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C ) ) )
42 ffn 5594 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( B  X.  C ) --> A  -> 
g  Fn  ( B  X.  C ) )
4322, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) )  ->  g  Fn  ( B  X.  C
) )
4443ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  Fn  ( B  X.  C
) )
45 fnov 6181 . . . . . . 7  |-  ( g  Fn  ( B  X.  C )  <->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
4644, 45sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
47 simp3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  y  e.  C )
4829adantlrl 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
49483adant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
50 simp1l2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  B  e.  W )
51 simp1l1 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  A  e.  V )
52 fex2 5606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A  /\  B  e.  W  /\  A  e.  V
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )
5434fvmpt2 5815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y )  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
5547, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
)  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
5655fveq1d 5733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x ) )
57 simp2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  x  e.  B )
58 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( x g y )  e. 
_V
5928fvmpt2 5815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( x g y )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x )  =  ( x g y ) )
6057, 58, 59sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x )  =  ( x g y ) )
6156, 60eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
)  =  ( x g y ) )
6261mpt2eq3dva 6141 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
6346, 62eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
) `  x )
) )
64 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  B  =  B
65 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x C
66 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )
6765, 66nfmpt 4300 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
6867nfeq2 2585 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
69 nfmpt1 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
7069nfeq2 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
71 fveq1 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) )
7271fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( ( f `
 y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) )
7372a1d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( y  e.  C  ->  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) )
7470, 73ralrimi 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) )
75 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  C
7674, 75jctil 525 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) )
7776a1d 24 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) ) )
7868, 77ralrimi 2789 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  A. x  e.  B  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) ) )
79 mpt2eq123 6136 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  B  /\  A. x  e.  B  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( ( f `  y
) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
) `  x )
) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) ) )
8064, 78, 79sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `
 x ) ) )
8180eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )  <->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `
 x ) ) ) )
8263, 81syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) )
835ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f : C --> ( A  ^m  B ) )
8483feqmptd 5782 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( f `  y ) ) )
85 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
) )
8685, 8sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( f `  y ) : B --> A )
8786feqmptd 5782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( f `  y )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
8887mpteq2dva 4298 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
y  e.  C  |->  ( f `  y ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
8984, 88eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) ) )
90 nfmpt22 6144 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )
9190nfeq2 2585 . . . . . . . 8  |-  F/ y  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )
92 eqidd 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  ->  B  =  B )
93 nfmpt21 6143 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )
9493nfeq2 2585 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )
95 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  C
96 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  y ) `
 x )  e. 
_V
9713ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C  /\  ( ( f `  y ) `  x
)  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) y )  =  ( ( f `  y
) `  x )
)
9896, 97mp3an3 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) y )  =  ( ( f `  y
) `  x )
)
99 oveq 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( x g y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) y ) )
10099eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( ( x g y )  =  ( ( f `  y
) `  x )  <->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )
10198, 100syl5ibr 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x g y )  =  ( ( f `
 y ) `  x ) ) )
102101exp3acom23 1382 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  ( x  e.  B  ->  ( x g y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
10394, 95, 102ralrimd 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  A. x  e.  B  ( x g y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )
104 mpteq12 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =  B  /\  A. x  e.  B  ( x g y )  =  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
10592, 103, 104ee12an 1373 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) ) )
10691, 105ralrimi 2789 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  ->  A. y  e.  C  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
107 mpteq12 4291 . . . . . . 7  |-  ( ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
10875, 106, 107sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) )
109108eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) ) )
11089, 109syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) ) )
11182, 110impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <->  g  =  ( x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) ) )
112111ex 425 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <-> 
g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) ) )
1132, 4, 21, 41, 112en3d 7147 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  ~~  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086    ^m cmap 7021    ~~ cen 7109
This theorem is referenced by:  mappwen  7998  cfpwsdom  8464  rpnnen  12831  rexpen  12832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-en 7113
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