Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Unicode version

Theorem marypha1 7441
 Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pidgeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a
marypha1.b
marypha1.c
marypha1.d
Assertion
Ref Expression
marypha1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3809 . . . . 5
2 marypha1.d . . . . 5
31, 2sylan2 462 . . . 4
43ralrimiva 2791 . . 3
5 marypha1.c . . . . 5
6 marypha1.a . . . . . . 7
7 marypha1.b . . . . . . 7
8 xpexg 4991 . . . . . . 7
96, 7, 8syl2anc 644 . . . . . 6
10 elpw2g 4365 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
125, 11mpbird 225 . . . 4
13 xpeq2 4895 . . . . . . . . 9
1413pweqd 3806 . . . . . . . 8
1514raleqdv 2912 . . . . . . 7
1615imbi2d 309 . . . . . 6
17 marypha1lem 7440 . . . . . . 7
1817com12 30 . . . . . 6
1916, 18vtoclga 3019 . . . . 5
207, 6, 19sylc 59 . . . 4
21 imaeq1 5200 . . . . . . . 8
2221breq2d 4226 . . . . . . 7
2322ralbidv 2727 . . . . . 6
24 pweq 3804 . . . . . . 7
2524rexeqdv 2913 . . . . . 6
2623, 25imbi12d 313 . . . . 5
2726rspcva 3052 . . . 4
2812, 20, 27syl2anc 644 . . 3
294, 28mpd 15 . 2
30 elpwi 3809 . . . . . . 7
3130, 5sylan9ssr 3364 . . . . . 6
32 rnss 5100 . . . . . 6
3331, 32syl 16 . . . . 5
34 rnxpss 5303 . . . . 5
3533, 34syl6ss 3362 . . . 4
36 f1ssr 5647 . . . . 5
3736expcom 426 . . . 4
3835, 37syl 16 . . 3
3938reximdva 2820 . 2
4029, 39mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801   class class class wbr 4214   cxp 4878   crn 4881  cima 4883  wf1 5453   cdom 7109  cfn 7111 This theorem is referenced by:  marypha2  7446 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115
 Copyright terms: Public domain W3C validator