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Theorem marypha2 7379
Description: Version of marypha1 7374 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
marypha2.b  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
marypha2.c  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
Assertion
Ref Expression
marypha2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable groups:    ph, d, g, x    A, d, g, x    F, d, g, x

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 marypha2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
32, 1unirnffid 7333 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
Fin )
4 eqid 2387 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)
54marypha2lem1 7375 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  C_  ( A  X.  U. ran  F )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  C_  ( A  X.  U. ran  F ) )
7 marypha2.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
8 ffn 5531 . . . . . 6  |-  ( F : A --> Fin  ->  F  Fn  A )
92, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
104marypha2lem4 7378 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  d  C_  A )  -> 
( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
119, 10sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
127, 11breqtrrd 4179 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d ) )
131, 3, 6, 12marypha1 7374 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F )
14 df-rex 2655 . . 3  |-  ( E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  <->  E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )
15 ssv 3311 . . . . . . . 8  |-  U. ran  F 
C_  _V
16 f1ss 5584 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-> U. ran  F  /\  U. ran  F 
C_  _V )  ->  g : A -1-1-> _V )
1715, 16mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g : A -1-1-> _V )
1817ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g : A -1-1-> _V )
19 elpwi 3750 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  ->  g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
2019ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  C_ 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
219adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  F  Fn  A )
22 f1fn 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g  Fn  A
)
2322ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  Fn  A )
244marypha2lem3 7377 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( g  C_  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  <->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
2620, 25mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) )
2718, 26jca 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g : A -1-1-> _V  /\ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2928eximdv 1629 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
3014, 29syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g  e. 
~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  ->  E. g
( g : A -1-1-> _V 
/\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) ) )
3113, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   {csn 3757   U.cuni 3957   U_ciun 4035   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   ran crn 4819   "cima 4821    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394    ~<_ cdom 7043   Fincfn 7045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049
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