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Theorem marypha2 7192
Description: Version of marypha1 7187 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
marypha2.b  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
marypha2.c  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
Assertion
Ref Expression
marypha2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable groups:    ph, d, g, x    A, d, g, x    F, d, g, x

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 marypha2.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
3 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( F : A --> Fin  ->  F  Fn  A )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
5 fniunfv 5773 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  =  U. ran  F )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  =  U. ran  F
)
7 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> Fin  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  Fin )
82, 7sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  Fin )
98ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  Fin )
10 iunfi 7144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  e.  Fin )
111, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( F `  x )  e.  Fin )
126, 11eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
Fin )
13 eqid 2283 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)
1413marypha2lem1 7188 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  C_  ( A  X.  U. ran  F )
1514a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  C_  ( A  X.  U. ran  F ) )
16 marypha2.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
1713marypha2lem4 7191 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  d  C_  A )  -> 
( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
184, 17sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
1916, 18breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d ) )
201, 12, 15, 19marypha1 7187 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F )
21 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  <->  E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )
22 ssv 3198 . . . . . . . 8  |-  U. ran  F 
C_  _V
23 f1ss 5442 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-> U. ran  F  /\  U. ran  F 
C_  _V )  ->  g : A -1-1-> _V )
2422, 23mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g : A -1-1-> _V )
2524ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g : A -1-1-> _V )
26 elpwi 3633 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  ->  g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
2726ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  C_ 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
284adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  F  Fn  A )
29 f1fn 5438 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g  Fn  A
)
3029ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  Fn  A )
3113marypha2lem3 7190 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( g  C_  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  <->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
3327, 32mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) )
3425, 33jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g : A -1-1-> _V  /\ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3534ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
3635eximdv 1608 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
3721, 36syl5bi 208 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g  e. 
~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  ->  E. g
( g : A -1-1-> _V 
/\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) ) )
3820, 37mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867
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