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Theorem marypha2 7436
Description: Version of marypha1 7431 using a functional family of sets instead of a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
marypha2.b  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
marypha2.c  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
Assertion
Ref Expression
marypha2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable groups:    ph, d, g, x    A, d, g, x    F, d, g, x

Proof of Theorem marypha2
StepHypRef Expression
1 marypha2.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 marypha2.b . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> Fin )
32, 1unirnffid 7390 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
Fin )
4 eqid 2435 . . . . 5  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)
54marypha2lem1 7432 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  C_  ( A  X.  U. ran  F )
65a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  C_  ( A  X.  U. ran  F ) )
7 marypha2.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  U. ( F " d
) )
8 ffn 5583 . . . . . 6  |-  ( F : A --> Fin  ->  F  Fn  A )
92, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
104marypha2lem4 7435 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  d  C_  A )  -> 
( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
119, 10sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d )  =  U. ( F
" d ) )
127, 11breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  C_  A )  ->  d  ~<_  ( U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) " d ) )
131, 3, 6, 12marypha1 7431 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F )
14 df-rex 2703 . . 3  |-  ( E. g  e.  ~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  <->  E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )
15 ssv 3360 . . . . . . . 8  |-  U. ran  F 
C_  _V
16 f1ss 5636 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-> U. ran  F  /\  U. ran  F 
C_  _V )  ->  g : A -1-1-> _V )
1715, 16mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g : A -1-1-> _V )
1817ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g : A -1-1-> _V )
19 elpwi 3799 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  ->  g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
2019ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  C_ 
U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) )
219adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  F  Fn  A )
22 f1fn 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-> U. ran  F  ->  g  Fn  A
)
2322ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  g  Fn  A )
244marypha2lem3 7434 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( g  C_  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  ( F `  x )
)  <->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
2521, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g  C_  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
2620, 25mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) )
2718, 26jca 519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F ) )  ->  (
g : A -1-1-> _V  /\ 
A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2928eximdv 1632 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g  e.  ~P U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) )  /\  g : A -1-1-> U. ran  F )  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) ) )
3014, 29syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g  e. 
~P  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  ( F `  x ) ) g : A -1-1-> U.
ran  F  ->  E. g
( g : A -1-1-> _V 
/\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( F `
 x ) ) ) )
3113, 30mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : A -1-1-> _V  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
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