Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1 Structured version   Unicode version

Theorem mat1 27461
Description: Value of an identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mat1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mat1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    i, j,  .0.   
.1. , i, j    A, i, j    i, N, j    R, i, j

Proof of Theorem mat1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
4 mat1.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)
6 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
71, 2, 3, 4, 5, 6mamudiagcl 27436 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
8 mat1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 1matbas2 27454 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
107, 9eleqtrd 2514 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
11 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
128, 11matmulr 27446 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1413oveqd 6100 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x ) )
15 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  N  e.  Fin )
179eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  x  e.  ( Base `  A )
) )
1817biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 27437 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
2014, 19eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x )
2113oveqd 6100 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 27438 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x )
2321, 22eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x )
2420, 23jca 520 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
2524ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
268matrng 27459 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
27 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
28 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
29 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
3027, 28, 29isrngid 15691 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )  /\  A. x  e.  (
Base `  A )
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  (
x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3126, 30syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  e.  ( Base `  A )  /\  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3210, 25, 31mpbi2and 889 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   ifcif 3741   <.cotp 3820    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   Basecbs 13471   .rcmulr 13532   0gc0g 13725   Ringcrg 15662   1rcur 15664   maMul cmmul 27418   Mat cmat 27419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-pws 13675  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-dsmm 27177  df-frlm 27193  df-mamu 27420  df-mat 27421
  Copyright terms: Public domain W3C validator