Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1 Unicode version

Theorem mat1 27585
Description: Value of an identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mat1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mat1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    i, j,  .0.   
.1. , i, j    A, i, j    i, N, j    R, i, j

Proof of Theorem mat1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
4 mat1.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)
6 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
71, 2, 3, 4, 5, 6mamudiagcl 27560 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
8 mat1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 1matbas2 27578 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
107, 9eleqtrd 2372 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
128, 11matmulr 27570 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1413oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x ) )
15 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  N  e.  Fin )
179eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  x  e.  ( Base `  A )
) )
1817biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 27561 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
2014, 19eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x )
2113oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 27562 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x )
2321, 22eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x )
2420, 23jca 518 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
2524ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
268matrng 27583 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
27 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
28 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
29 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
3027, 28, 29isrngid 15382 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )  /\  A. x  e.  (
Base `  A )
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  (
x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3126, 30syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  e.  ( Base `  A )  /\  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3210, 25, 31mpbi2and 887 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   <.cotp 3657    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353   1rcur 15355   maMul cmmul 27542   Mat cmat 27543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-dsmm 27301  df-frlm 27317  df-mamu 27544  df-mat 27545
  Copyright terms: Public domain W3C validator