Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1 Unicode version

Theorem mat1 27482
Description: Value of an identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mat1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mat1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    i, j,  .0.   
.1. , i, j    A, i, j    i, N, j    R, i, j

Proof of Theorem mat1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
4 mat1.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)
6 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
71, 2, 3, 4, 5, 6mamudiagcl 27457 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
8 mat1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 1matbas2 27475 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
107, 9eleqtrd 2359 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
128, 11matmulr 27467 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1312adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1413oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x ) )
15 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  N  e.  Fin )
179eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  x  e.  ( Base `  A )
) )
1817biimpar 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 27458 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
2014, 19eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x )
2113oveqd 5875 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 27459 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x )
2321, 22eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x )
2420, 23jca 518 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
2524ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
268matrng 27480 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
27 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
28 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
29 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
3027, 28, 29isrngid 15366 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )  /\  A. x  e.  (
Base `  A )
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  (
x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3126, 30syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  e.  ( Base `  A )  /\  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3210, 25, 31mpbi2and 887 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565   <.cotp 3644    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339   maMul cmmul 27439   Mat cmat 27440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-dsmm 27198  df-frlm 27214  df-mamu 27441  df-mat 27442
  Copyright terms: Public domain W3C validator