Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matassa Structured version   Unicode version

Theorem matassa 27450
 Description: Existence of the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a Mat
Assertion
Ref Expression
matassa AssAlg

Proof of Theorem matassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 Mat
2 eqid 2436 . . 3
31, 2matbas2 27444 . 2
41matsca2 27443 . 2 Scalar
5 eqidd 2437 . 2
6 eqidd 2437 . 2
7 eqid 2436 . . 3 maMul maMul
81, 7matmulr 27436 . 2 maMul
9 crngrng 15667 . . 3
101matlmod 27448 . . 3
119, 10sylan2 461 . 2
121matrng 27449 . . 3
139, 12sylan2 461 . 2
14 simpr 448 . 2
159ad2antlr 708 . . . 4
16 simpll 731 . . . 4
17 eqid 2436 . . . 4
18 simpr1 963 . . . 4
19 simpr2 964 . . . 4
20 simpr3 965 . . . 4
212, 15, 7, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 20mamuvs1 27432 . . 3 maMul maMul
223adantr 452 . . . . . 6
2319, 22eleqtrd 2512 . . . . 5
24 eqid 2436 . . . . . 6
25 eqid 2436 . . . . . 6
26 eqid 2436 . . . . . 6
271, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 27447 . . . . 5
2818, 23, 27syl2anc 643 . . . 4
2928oveq1d 6089 . . 3 maMul maMul
302, 15, 7, 16, 16, 16, 19, 20mamucl 27425 . . . . 5 maMul
3130, 22eleqtrd 2512 . . . 4 maMul
321, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 27447 . . . 4 maMul maMul maMul
3318, 31, 32syl2anc 643 . . 3 maMul maMul
3421, 29, 333eqtr4d 2478 . 2 maMul maMul
35 simplr 732 . . . 4
3635, 2, 17, 7, 16, 16, 16, 19, 18, 20mamuvs2 27433 . . 3 maMul maMul
3720, 22eleqtrd 2512 . . . . 5
381, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 27447 . . . . 5
3918, 37, 38syl2anc 643 . . . 4
4039oveq2d 6090 . . 3 maMul maMul
4136, 40, 333eqtr4d 2478 . 2 maMul maMul
423, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 14, 34, 41isassad 16375 1 AssAlg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  csn 3807  cotp 3811   cxp 4869  cfv 5447  (class class class)co 6074   cof 6296   cmap 7011  cfn 7102  cbs 13462  cmulr 13523  cvsca 13526  crg 15653  ccrg 15654  clmod 15943  AssAlgcasa 16362   maMul cmmul 27408   Mat cmat 27409 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-ot 3817  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-10 10059  df-n0 10215  df-z 10276  df-dec 10376  df-uz 10482  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-seq 11317  df-hash 11612  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-mulr 13536  df-sca 13538  df-vsca 13539  df-tset 13541  df-ple 13542  df-ds 13544  df-hom 13546  df-cco 13547  df-prds 13664  df-pws 13666  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-ghm 14997  df-cntz 15109  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-mgp 15642  df-rng 15656  df-cring 15657  df-ur 15658  df-subrg 15859  df-lmod 15945  df-lss 16002  df-sra 16237  df-rgmod 16238  df-assa 16365  df-dsmm 27167  df-frlm 27183  df-mamu 27410  df-mat 27411
 Copyright terms: Public domain W3C validator