Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matlmod Structured version   Unicode version

Theorem matlmod 27447
Description: The matrix ring is a linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matlmod  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem matlmod
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpexg 4981 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
21anidms 627 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
43frlmlmod 27185 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  X.  N )  e. 
_V )  ->  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  e.  LMod )
54ancoms 440 . . 3  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
62, 5sylan 458 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
7 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
8 matassa.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 3matbas 27436 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  A )
)
108, 3matplusg 27437 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( +g  `  A
) )
1110proplem3 13908 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  A
) y ) )
12 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
138, 3matsca 27438 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  A ) )
14 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
158, 3matvsca 27439 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
1615proplem3 13908 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( x ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( .s `  A
) y ) )
177, 9, 11, 12, 13, 14, 16lmodpropd 15999 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e.  LMod  <->  A  e.  LMod ) )
186, 17mpbid 202 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   Ringcrg 15652   LModclmod 15942   freeLMod cfrlm 27180   Mat cmat 27408
This theorem is referenced by:  matrng  27448  matassa  27449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-dsmm 27166  df-frlm 27182  df-mat 27410
  Copyright terms: Public domain W3C validator