Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matmulr Structured version   Unicode version

Theorem matmulr 27399
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matmulr.t  |-  .x.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
Assertion
Ref Expression
matmulr  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  A ) )

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 6098 . . . 4  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  e.  _V
2 matmulr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
3 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  e.  _V
42, 3eqeltri 2505 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
51, 4pm3.2i 442 . . 3  |-  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
_V  /\  .x.  e.  _V )
6 mulrid 13565 . . . 4  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
76setsid 13498 . . 3  |-  ( ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
_V  /\  .x.  e.  _V )  ->  .x.  =  ( .r `  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
85, 7mp1i 12 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
9 matmulr.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
10 eqid 2435 . . . 4  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
119, 10, 2matval 27397 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. ) )
1211fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( .r `  A
)  =  ( .r
`  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
138, 12eqtr4d 2470 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   <.cop 3809   <.cotp 3810    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   ndxcnx 13456   sSet csts 13457   .rcmulr 13520   freeLMod cfrlm 27144   maMul cmmul 27371   Mat cmat 27372
This theorem is referenced by:  matrng  27412  matassa  27413  mat1  27414
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-sets 13465  df-mulr 13533  df-mat 27374
  Copyright terms: Public domain W3C validator