Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matmulr Unicode version

Theorem matmulr 27138
Description: Multiplication in the matrix algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matmulr.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matmulr.t  |-  .x.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
Assertion
Ref Expression
matmulr  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  A ) )

Proof of Theorem matmulr
StepHypRef Expression
1 ovex 6047 . . . 4  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  e.  _V
2 matmulr.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
3 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  e.  _V
42, 3eqeltri 2459 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
51, 4pm3.2i 442 . . 3  |-  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
_V  /\  .x.  e.  _V )
6 mulrid 13504 . . . 4  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
76setsid 13437 . . 3  |-  ( ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
_V  /\  .x.  e.  _V )  ->  .x.  =  ( .r `  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
85, 7mp1i 12 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
9 matmulr.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
10 eqid 2389 . . . 4  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
119, 10, 2matval 27136 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  .x.  >. ) )
1211fveq2d 5674 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( .r `  A
)  =  ( .r
`  ( ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) sSet  <. ( .r `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
138, 12eqtr4d 2424 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  .x.  =  ( .r
`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   <.cop 3762   <.cotp 3763    X. cxp 4818   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   ndxcnx 13395   sSet csts 13396   .rcmulr 13459   freeLMod cfrlm 26883   maMul cmmul 27110   Mat cmat 27111
This theorem is referenced by:  matrng  27151  matassa  27152  mat1  27153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-ot 3769  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-sets 13404  df-mulr 13472  df-mat 27113
  Copyright terms: Public domain W3C validator