Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matplusg Structured version   Unicode version

Theorem matplusg 27437
Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matplusg  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )

Proof of Theorem matplusg
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 27433 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  A
)  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) ) )
6 plusgid 13556 . . 3  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
7 plusgndx 13555 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
8 2re 10061 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10135 . . . . . 6  |-  2  <  3
108, 9ltneii 9178 . . . . 5  |-  2  =/=  3
11 mulrndx 13566 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeqtrri 2621 . . . 4  |-  2  =/=  ( .r `  ndx )
137, 12eqnetri 2615 . . 3  |-  ( +g  ` 
ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 13501 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
155, 14syl6reqr 2486 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809   <.cotp 3810    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   2c2 10041   3c3 10042   ndxcnx 13458   sSet csts 13459   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   freeLMod cfrlm 27180   maMul cmmul 27407   Mat cmat 27408
This theorem is referenced by:  mat0  27440  matinvg  27441  matplusg2  27445  matlmod  27447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-mat 27410
  Copyright terms: Public domain W3C validator