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Theorem matrng 27142
Description: Existence of the matrix ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matrng  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )

Proof of Theorem matrng
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2380 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2matbas2 27137 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
4 eqidd 2381 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 eqid 2380 . . 3  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
61, 5matmulr 27129 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
71matlmod 27141 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
8 lmodgrp 15877 . . 3  |-  ( A  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
10 simp1r 982 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
11 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
12 simp2 958 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 simp3 959 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
142, 10, 5, 11, 11, 11, 12, 13mamucl 27118 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
15 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
17 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
18 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
19 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
202, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 5, 5, 5, 5mamuass 27122 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
21 eqid 2380 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
222, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudir 27124 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R
) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
233adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2418, 23eleqtrd 2456 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  A )
)
2519, 23eleqtrd 2456 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  A )
)
26 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
27 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
281, 26, 27, 21matplusg2 27139 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  A )  /\  z  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )
2924, 25, 28syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R ) z ) )
3029oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) ) )
312, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 18mamucl 27118 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3231, 23eleqtrd 2456 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  (
Base `  A )
)
332, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 19mamucl 27118 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3433, 23eleqtrd 2456 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
351, 26, 27, 21matplusg2 27139 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3632, 34, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3722, 30, 363eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
382, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudi 27123 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R
) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3917, 23eleqtrd 2456 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  A )
)
401, 26, 27, 21matplusg2 27139 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  A )  /\  y  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
4139, 24, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R ) y ) )
4241oveq1d 6028 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )
432, 15, 5, 16, 16, 16, 18, 19mamucl 27118 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4443, 23eleqtrd 2456 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
451, 26, 27, 21matplusg2 27139 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4738, 42, 463eqtr4d 2422 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
48 simpr 448 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
49 eqid 2380 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
50 eqid 2380 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2380 . . 3  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
52 simpl 444 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
532, 48, 49, 50, 51, 52mamudiagcl 27119 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
54 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
55 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  N  e.  Fin )
56 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
572, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamulid 27120 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
582, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamurid 27121 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  x )
593, 4, 6, 9, 14, 20, 37, 47, 53, 57, 58isrngd 15618 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3675   <.cotp 3754    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015    o Fcof 6235    ^m cmap 6947   Fincfn 7038   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   0gc0g 13643   Grpcgrp 14605   Ringcrg 15580   1rcur 15582   LModclmod 15870   maMul cmmul 27101   Mat cmat 27102
This theorem is referenced by:  matassa  27143  mat1  27144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-ot 3760  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591  df-pws 13593  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-sra 16164  df-rgmod 16165  df-dsmm 26860  df-frlm 26876  df-mamu 27103  df-mat 27104
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