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Theorem matrng 27448
Description: Existence of the matrix ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matrng  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )

Proof of Theorem matrng
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2matbas2 27443 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
4 eqidd 2436 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
61, 5matmulr 27435 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
71matlmod 27447 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
8 lmodgrp 15949 . . 3  |-  ( A  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
10 simp1r 982 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
11 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
12 simp2 958 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 simp3 959 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
142, 10, 5, 11, 11, 11, 12, 13mamucl 27424 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
15 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
17 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
18 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
19 simpr3 965 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
202, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 5, 5, 5, 5mamuass 27428 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
21 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
222, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudir 27430 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R
) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
233adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2418, 23eleqtrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  A )
)
2519, 23eleqtrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  A )
)
26 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
27 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
281, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  A )  /\  z  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )
2924, 25, 28syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R ) z ) )
3029oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) ) )
312, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 18mamucl 27424 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3231, 23eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  (
Base `  A )
)
332, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 19mamucl 27424 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3433, 23eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
351, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3632, 34, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3722, 30, 363eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
382, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudi 27429 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R
) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3917, 23eleqtrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  A )
)
401, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  A )  /\  y  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
4139, 24, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R ) y ) )
4241oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )
432, 15, 5, 16, 16, 16, 18, 19mamucl 27424 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4443, 23eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
451, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4738, 42, 463eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
48 simpr 448 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
49 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
50 eqid 2435 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2435 . . 3  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
52 simpl 444 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
532, 48, 49, 50, 51, 52mamudiagcl 27425 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
54 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
55 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  N  e.  Fin )
56 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
572, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamulid 27426 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
582, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamurid 27427 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  x )
593, 4, 6, 9, 14, 20, 37, 47, 53, 57, 58isrngd 15690 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   <.cotp 3810    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   Ringcrg 15652   1rcur 15654   LModclmod 15942   maMul cmmul 27407   Mat cmat 27408
This theorem is referenced by:  matassa  27449  mat1  27450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-dsmm 27166  df-frlm 27182  df-mamu 27409  df-mat 27410
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