Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matrng Structured version   Unicode version

Theorem matrng 27448
 Description: Existence of the matrix ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a Mat
Assertion
Ref Expression
matrng

Proof of Theorem matrng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 Mat
2 eqid 2435 . . 3
31, 2matbas2 27443 . 2
4 eqidd 2436 . 2
5 eqid 2435 . . 3 maMul maMul
61, 5matmulr 27435 . 2 maMul
71matlmod 27447 . . 3
8 lmodgrp 15949 . . 3
97, 8syl 16 . 2
10 simp1r 982 . . 3
11 simp1l 981 . . 3
12 simp2 958 . . 3
13 simp3 959 . . 3
142, 10, 5, 11, 11, 11, 12, 13mamucl 27424 . 2 maMul
15 simplr 732 . . 3
16 simpll 731 . . 3
17 simpr1 963 . . 3
18 simpr2 964 . . 3
19 simpr3 965 . . 3
202, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 5, 5, 5, 5mamuass 27428 . 2 maMul maMul maMul maMul
21 eqid 2435 . . . 4
222, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudir 27430 . . 3 maMul maMul maMul
233adantr 452 . . . . . 6
2418, 23eleqtrd 2511 . . . . 5
2519, 23eleqtrd 2511 . . . . 5
26 eqid 2435 . . . . . 6
27 eqid 2435 . . . . . 6
281, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . . 5
2924, 25, 28syl2anc 643 . . . 4
3029oveq2d 6089 . . 3 maMul maMul
312, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 18mamucl 27424 . . . . 5 maMul
3231, 23eleqtrd 2511 . . . 4 maMul
332, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 19mamucl 27424 . . . . 5 maMul
3433, 23eleqtrd 2511 . . . 4 maMul
351, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . 4 maMul maMul maMul maMul maMul maMul
3632, 34, 35syl2anc 643 . . 3 maMul maMul maMul maMul
3722, 30, 363eqtr4d 2477 . 2 maMul maMul maMul
382, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudi 27429 . . 3 maMul maMul maMul
3917, 23eleqtrd 2511 . . . . 5
401, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . . 5
4139, 24, 40syl2anc 643 . . . 4
4241oveq1d 6088 . . 3 maMul maMul
432, 15, 5, 16, 16, 16, 18, 19mamucl 27424 . . . . 5 maMul
4443, 23eleqtrd 2511 . . . 4 maMul
451, 26, 27, 21matplusg2 27445 . . . 4 maMul maMul maMul maMul maMul maMul
4634, 44, 45syl2anc 643 . . 3 maMul maMul maMul maMul
4738, 42, 463eqtr4d 2477 . 2 maMul maMul maMul
48 simpr 448 . . 3
49 eqid 2435 . . 3
50 eqid 2435 . . 3
51 eqid 2435 . . 3
52 simpl 444 . . 3
532, 48, 49, 50, 51, 52mamudiagcl 27425 . 2
54 simplr 732 . . 3
55 simpll 731 . . 3
56 simpr 448 . . 3
572, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamulid 27426 . 2 maMul
582, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamurid 27427 . 2 maMul
593, 4, 6, 9, 14, 20, 37, 47, 53, 57, 58isrngd 15690 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cif 3731  cotp 3810   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075   cof 6295   cmap 7010  cfn 7101  cbs 13461   cplusg 13521  c0g 13715  cgrp 14677  crg 15652  cur 15654  clmod 15942   maMul cmmul 27407   Mat cmat 27408 This theorem is referenced by:  matassa  27449  mat1  27450 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-dsmm 27166  df-frlm 27182  df-mamu 27409  df-mat 27410
 Copyright terms: Public domain W3C validator