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Theorem matrng 27583
Description: Existence of the matrix ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matrng  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )

Proof of Theorem matrng
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2matbas2 27578 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
4 eqidd 2297 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 eqid 2296 . . 3  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
61, 5matmulr 27570 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
71matlmod 27582 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
8 lmodgrp 15650 . . 3  |-  ( A  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
97, 8syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
10 simp1r 980 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
11 simp1l 979 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
12 simp2 956 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 simp3 957 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
142, 10, 5, 11, 11, 11, 12, 13mamucl 27559 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
15 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
17 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
18 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
19 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
202, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 5, 5, 5, 5mamuass 27563 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
222, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudir 27565 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R
) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
233adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2418, 23eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  A )
)
2519, 23eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  A )
)
26 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
27 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
281, 26, 27, 21matplusg2 27580 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  A )  /\  z  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R
) z ) )
2924, 25, 28syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  o F ( +g  `  R ) z ) )
3029oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  o F ( +g  `  R
) z ) ) )
312, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 18mamucl 27559 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3231, 23eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  (
Base `  A )
)
332, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 19mamucl 27559 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3433, 23eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
351, 26, 27, 21matplusg2 27580 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3632, 34, 35syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  o F ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3722, 30, 363eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
382, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudi 27564 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R
) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3917, 23eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  A )
)
401, 26, 27, 21matplusg2 27580 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  A )  /\  y  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
4139, 24, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R ) y ) )
4241oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x  o F ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )
432, 15, 5, 16, 16, 16, 18, 19mamucl 27559 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4443, 23eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
451, 26, 27, 21matplusg2 27580 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  o F ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4738, 42, 463eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
48 simpr 447 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
49 eqid 2296 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
50 eqid 2296 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2296 . . 3  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
52 simpl 443 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
532, 48, 49, 50, 51, 52mamudiagcl 27560 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
54 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
55 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  N  e.  Fin )
56 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
572, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamulid 27561 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
582, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamurid 27562 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  x )
593, 4, 6, 9, 14, 20, 37, 47, 53, 57, 58isrngd 15391 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   <.cotp 3657    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643   maMul cmmul 27542   Mat cmat 27543
This theorem is referenced by:  matassa  27584  mat1  27585
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-dsmm 27301  df-frlm 27317  df-mamu 27544  df-mat 27545
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