Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matvsca2 Unicode version

Theorem matvsca2 27478
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matvsca2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvsca2.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvsca2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
matvsca2.c  |-  C  =  ( N  X.  N
)
Assertion
Ref Expression
matvsca2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matvsca2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 27466 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matvsca 27471 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
74, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
8 matvsca2.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
97, 8syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.x.  )
109oveqd 5875 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .x.  Y
) )
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
12 matvsca2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
134simpld 445 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7128 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
17 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 5matbas 27468 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
194, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
2019, 2syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2117, 20eleqtrrd 2360 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
22 eqid 2283 . . . 4  |-  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )
23 matvsca2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 27230 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
) )
25 matvsca2.c . . . . 5  |-  C  =  ( N  X.  N
)
2625xpeq1i 4709 . . . 4  |-  ( C  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
2726oveq1i 5868 . . 3  |-  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
)
2824, 27syl6eqr 2333 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( C  X.  { X } )  o F  .X.  Y )
)
2910, 28eqtr3d 2317 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   Fincfn 6863   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   freeLMod cfrlm 27212   Mat cmat 27440
This theorem is referenced by:  matassa  27481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-dsmm 27198  df-frlm 27214  df-mat 27442
  Copyright terms: Public domain W3C validator