Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matvsca2 Structured version   Unicode version

Theorem matvsca2 27410
 Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a Mat
matvsca2.b
matvsca2.k
matvsca2.v
matvsca2.t
matvsca2.c
Assertion
Ref Expression
matvsca2

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7 Mat
2 matvsca2.b . . . . . . 7
31, 2matrcl 27398 . . . . . 6
43adantl 453 . . . . 5
5 eqid 2435 . . . . . 6 freeLMod freeLMod
61, 5matvsca 27403 . . . . 5 freeLMod
74, 6syl 16 . . . 4 freeLMod
8 matvsca2.v . . . 4
97, 8syl6eqr 2485 . . 3 freeLMod
109oveqd 6090 . 2 freeLMod
11 eqid 2435 . . . 4 freeLMod freeLMod
12 matvsca2.k . . . 4
134simpld 446 . . . . 5
14 xpfi 7370 . . . . 5
1513, 13, 14syl2anc 643 . . . 4
16 simpl 444 . . . 4
17 simpr 448 . . . . 5
181, 5matbas 27400 . . . . . . 7 freeLMod
194, 18syl 16 . . . . . 6 freeLMod
2019, 2syl6eqr 2485 . . . . 5 freeLMod
2117, 20eleqtrrd 2512 . . . 4 freeLMod
22 eqid 2435 . . . 4 freeLMod freeLMod
23 matvsca2.t . . . 4
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 27162 . . 3 freeLMod
25 matvsca2.c . . . . 5
2625xpeq1i 4890 . . . 4
2726oveq1i 6083 . . 3
2824, 27syl6eqr 2485 . 2 freeLMod
2910, 28eqtr3d 2469 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  csn 3806   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cfn 7101  cbs 13459  cmulr 13520  cvsca 13523   freeLMod cfrlm 27144   Mat cmat 27372 This theorem is referenced by:  matassa  27413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661  df-pws 13663  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-dsmm 27130  df-frlm 27146  df-mat 27374
 Copyright terms: Public domain W3C validator