Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matvsca2 Structured version   Unicode version

Theorem matvsca2 27410
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matvsca2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvsca2.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvsca2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
matvsca2.c  |-  C  =  ( N  X.  N
)
Assertion
Ref Expression
matvsca2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matvsca2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 27398 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matvsca 27403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
8 matvsca2.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
97, 8syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.x.  )
109oveqd 6090 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .x.  Y
) )
11 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
12 matvsca2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
134simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7370 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 5matbas 27400 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
2019, 2syl6eqr 2485 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2117, 20eleqtrrd 2512 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
22 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )
23 matvsca2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 27162 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
) )
25 matvsca2.c . . . . 5  |-  C  =  ( N  X.  N
)
2625xpeq1i 4890 . . . 4  |-  ( C  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
2726oveq1i 6083 . . 3  |-  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
)
2824, 27syl6eqr 2485 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( C  X.  { X } )  o F  .X.  Y )
)
2910, 28eqtr3d 2469 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Fincfn 7101   Basecbs 13459   .rcmulr 13520   .scvsca 13523   freeLMod cfrlm 27144   Mat cmat 27372
This theorem is referenced by:  matassa  27413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-hom 13543  df-cco 13544  df-prds 13661  df-pws 13663  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-dsmm 27130  df-frlm 27146  df-mat 27374
  Copyright terms: Public domain W3C validator