Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matvsca2 Unicode version

Theorem matvsca2 27140
Description: Scalar multiplication in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matvsca2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matvsca2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matvsca2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
matvsca2.v  |-  .x.  =  ( .s `  A )
matvsca2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
matvsca2.c  |-  C  =  ( N  X.  N
)
Assertion
Ref Expression
matvsca2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )

Proof of Theorem matvsca2
StepHypRef Expression
1 matvsca2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matvsca2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 27128 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matvsca 27133 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
8 matvsca2.v . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  A )
97, 8syl6eqr 2430 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.x.  )
109oveqd 6030 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .x.  Y
) )
11 eqid 2380 . . . 4  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
12 matvsca2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
134simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7307 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  K )
17 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 5matbas 27130 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
194, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
2019, 2syl6eqr 2430 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2117, 20eleqtrrd 2457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
22 eqid 2380 . . . 4  |-  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )
23 matvsca2.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  R )
245, 11, 12, 15, 16, 21, 22, 23frlmvscafval 26892 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
) )
25 matvsca2.c . . . . 5  |-  C  =  ( N  X.  N
)
2625xpeq1i 4831 . . . 4  |-  ( C  X.  { X }
)  =  ( ( N  X.  N )  X.  { X }
)
2726oveq1i 6023 . . 3  |-  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y )  =  ( ( ( N  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .X.  Y
)
2824, 27syl6eqr 2430 . 2  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .s
`  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( ( C  X.  { X } )  o F  .X.  Y )
)
2910, 28eqtr3d 2414 1  |-  ( ( X  e.  K  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( ( C  X.  { X } )  o F 
.X.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   {csn 3750    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235   Fincfn 7038   Basecbs 13389   .rcmulr 13450   .scvsca 13453   freeLMod cfrlm 26874   Mat cmat 27102
This theorem is referenced by:  matassa  27143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-ot 3760  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591  df-pws 13593  df-sra 16164  df-rgmod 16165  df-dsmm 26860  df-frlm 26876  df-mat 27104
  Copyright terms: Public domain W3C validator