MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Unicode version

Theorem max0sub 10539
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 id 19 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
4 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
54adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
6 0xr 8894 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
76a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  e.  RR* )
8 renegcl 9126 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR )
109rexrd 8897 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  e.  RR* )
11 le0neg2 9299 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
1211biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
13 xrmaxeq 10524 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  -u A  e.  RR*  /\  -u A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
147, 10, 12, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
155, 14oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  -  0 ) )
16 recn 8843 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
1817subid1d 9162 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  -  0 )  =  A )
1915, 18eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
206a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  e.  RR* )
21 rexr 8893 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  RR* )
23 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  <_  0 )
24 xrmaxeq 10524 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  A  <_ 
0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
2520, 22, 23, 24syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
26 le0neg1 9298 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
2726biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
28 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3025, 29oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  -  -u A
) )
31 df-neg 9056 . . . 4  |-  -u -u A  =  ( 0  - 
-u A )
3216adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
3332negnegd 9164 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u -u A  =  A
)
3431, 33syl5eqr 2342 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  -  -u A
)  =  A )
3530, 34eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
362, 3, 19, 35lecasei 8942 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  19093  itgitg1  19179  itgconst  19189  itgaddlem2  19194  itgmulc2lem2  19203  itgaddnclem2  25010  itgmulc2nclem2  25018
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator